$r_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$ を満たす。$r < r_0$ のとき、なぜ $2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} > 0$ となるのかを説明する問題です。

1. 問題の内容

$r_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$ を満たす。$r < r_0$ のとき、なぜ $2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} > 0$ となるのかを説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$r_0$ の値を $2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$ に代入して、これが正しいことを確認します。次に、$f(r) = 2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ という関数を考え、$r$ が $r_0$ より小さいときに、$f(r)$ が正になることを示します。

$r_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、

$2 - \frac{r_0}{\sqrt{1-r_0^2}} = 0$ を確認します。

$r_0^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5}$

$\sqrt{1-r_0^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\frac{r_0}{\sqrt{1-r_0^2}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 2$

$2 - \frac{r_0}{\sqrt{1-r_0^2}} = 2 - 2 = 0$

したがって、$r = r_0$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$ が成立します。

次に、$f(r) = 2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ という関数を考えます。$r < r_0$ のとき、$f(r) > 0$ を示す必要があります。

$f(r) = 2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ を微分します。

$f'(r) = -\frac{\sqrt{1-r^2} - r \cdot \frac{-2r}{2\sqrt{1-r^2}}}{1-r^2} = -\frac{\sqrt{1-r^2} + \frac{r^2}{\sqrt{1-r^2}}}{1-r^2} = -\frac{1-r^2+r^2}{(1-r^2)\sqrt{1-r^2}} = -\frac{1}{(1-r^2)^{3/2}} < 0$

つまり、$f(r)$ は単調減少関数です。

$r < r_0$ のとき、$f(r) > f(r_0) = 0$ です。

したがって、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} > 0$ となります。

3. 最終的な答え

$r < r_0$ のとき、$f(r) = 2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ は単調減少関数であり、$f(r_0) = 0$ なので、$r < r_0$ ならば、$f(r) > 0$。したがって、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} > 0$ となります。