$r_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$ を満たす。$r > r_0$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} < 0$ となる理由を説明する問題です。

1. 問題の内容

$r_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$ を満たす。$r > r_0$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} < 0$ となる理由を説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$ を満たす $r$ を求めます。

$2 = \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$

両辺を2乗します。

$4 = \frac{r^2}{1-r^2}$

$4(1-r^2) = r^2$

$4 - 4r^2 = r^2$

$5r^2 = 4$

$r^2 = \frac{4}{5}$

$r = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

ここで、$r$ は$\sqrt{1-r^2}$の中にあるので、$r^2 < 1$ である必要があります。

また、$\sqrt{1-r^2}$ は正の値なので、$r > 0$ でなければ、$2 = \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ とはならない。

したがって、$r = \frac{2}{\sqrt{5}}$ となります。問題文の$r_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$はこれを意味しています。

次に、$f(r) = 2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ という関数を考えます。

$r > r_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$のとき、$f(r) < 0$となることを示します。

$f'(r)$を計算して、$f(r)$が単調増加であるか、単調減少であるかを調べます。

$f(r) = 2 - r(1-r^2)^{-1/2}$

$f'(r) = - (1-r^2)^{-1/2} - r (-\frac{1}{2})(1-r^2)^{-3/2}(-2r)$

$f'(r) = - \frac{1}{\sqrt{1-r^2}} - \frac{r^2}{(1-r^2)^{3/2}}$

$f'(r) = - \frac{1-r^2 + r^2}{(1-r^2)^{3/2}}$

$f'(r) = \frac{1}{(1-r^2)^{3/2}} > 0$

$0 < r < 1$なので、$f'(r) > 0$です。つまり、$f(r)$は単調増加関数です。

$r = r_0$ のとき、$f(r_0) = 0$ であり、$r > r_0$ のとき、$f(r) > f(r_0)$ となります。

これは、$f(r)$が単調増加であるという仮定に反します。

$f'(r)$の符号が間違っている可能性があります。

$f'(r) = - (1-r^2)^{-1/2} - r (-\frac{1}{2})(1-r^2)^{-3/2}(-2r)$

$f'(r) = - (1-r^2)^{-1/2} - r^2 (1-r^2)^{-3/2}$

$f'(r) = - \frac{1}{\sqrt{1-r^2}} - \frac{r^2}{(1-r^2)^{3/2}} = \frac{- (1-r^2) - r^2}{(1-r^2)^{3/2}} = \frac{-1+r^2 - r^2}{(1-r^2)^{3/2}} = \frac{-1}{(1-r^2)^{3/2}} < 0$

$f'(r) < 0$ なので、$f(r)$は単調減少関数です。

したがって、$r > r_0$ ならば、$f(r) < f(r_0) = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$f(r) = 2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$を考えると、$f'(r) = \frac{-1}{(1-r^2)^{3/2}} < 0$ より、$f(r)$は単調減少関数です。したがって、$r > r_0$ のとき、$f(r) < f(r_0) = 0$ となります。つまり、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} < 0$ となります。