数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^{n-1}$ および初期条件 $a_1 = -1$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^{n-1}$ および初期条件 $a_1 = -1$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^{n-1}$ は、$n \ge 1$ で成り立つ。

$n \ge 2$ のとき、$a_n$ は次のように表せる。

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$$

漸化式より、$a_{k+1} - a_k = 2 \cdot 3^{k-1}$ であるから、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2 \cdot 3^{k-1}$$

ここで、$a_1 = -1$ であるから、

$$a_n = -1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$ は初項 $1$, 公比 $3$, 項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = \frac{1(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3^{n-1} - 1}{2}$$

よって、

$$a_n = -1 + 2 \cdot \frac{3^{n-1} - 1}{2} = -1 + 3^{n-1} - 1 = 3^{n-1} - 2$$

これは $n \ge 2$ で成り立つ。

$n=1$ のとき、$a_1 = 3^{1-1} - 2 = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1$ となり、初期条件と一致する。

したがって、$n \ge 1$ で、$a_n = 3^{n-1} - 2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{n-1} - 2$