数列$\{a_n\}$が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 4n - 4$ で定義されている。 (1) $b_n = a_{n+1} - a_n$ とするとき、$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表す。 (2) 数列$\{b_n\}$の一般項を求める。 (3) 数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 4n - 4$ で定義されている。

(1) $b_n = a_{n+1} - a_n$ とするとき、$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表す。

(2) 数列$\{b_n\}$の一般項を求める。

(3) 数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$b_n = a_{n+1} - a_n$より、

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 4n - 4$ を用いると、

$a_{n+2} = 2a_{n+1} + 4(n+1) - 4 = 2a_{n+1} + 4n$

したがって、

$b_{n+1} = (2a_{n+1} + 4n) - a_{n+1} = a_{n+1} + 4n$

$b_n = a_{n+1} - a_n$より、$a_{n+1} = b_n + a_n$

よって、$b_{n+1} = b_n + a_n + 4n$.

ここで、$a_{n+1} = 2a_n + 4n - 4$ より $a_n = \frac{a_{n+1} - 4n + 4}{2}$.

これより、$a_n = a_{n+1} - b_n$

$a_{n+1} = b_n + a_n = b_n + a_{n+1} - b_n$ これは常に正しい。

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = (2a_{n+1} + 4(n+1) - 4) - (2a_n + 4n - 4) = 2a_{n+1} + 4n + 4 - 2a_n - 4n + 4 = 2(a_{n+1} - a_n) + 8 = 2b_n + 8$

したがって、$b_{n+1} = 2b_n + 8$

(2)

$b_{n+1} = 2b_n + 8$ を変形する。

$b_{n+1} + 8 = 2(b_n + 8)$

$c_n = b_n + 8$ とおくと、$c_{n+1} = 2c_n$

これは等比数列であり、$c_1 = b_1 + 8$

$b_1 = a_2 - a_1 = (2a_1 + 4(1) - 4) - a_1 = a_1 = 1$

よって、$c_1 = 1 + 8 = 9$

$c_n = 9 \cdot 2^{n-1}$

$b_n = c_n - 8 = 9 \cdot 2^{n-1} - 8$

(3)

$b_n = a_{n+1} - a_n = 9 \cdot 2^{n-1} - 8$

$a_{n+1} - a_n = 9 \cdot 2^{n-1} - 8$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (9 \cdot 2^{k-1} - 8) = 1 + 9 \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} - 8 \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 1 + 9 \cdot \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} - 8(n-1) = 1 + 9(2^{n-1} - 1) - 8n + 8 = 1 + 9 \cdot 2^{n-1} - 9 - 8n + 8 = 9 \cdot 2^{n-1} - 8n$

したがって、$a_n = 9 \cdot 2^{n-1} - 8n$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = 2b_n + 8$

(2) $b_n = 9 \cdot 2^{n-1} - 8$

(3) $a_n = 9 \cdot 2^{n-1} - 8n$