与えられた3x3行列式の値を求める問題です。行列式は $ \begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} $ で与えられます。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列式の値を求める問題です。行列式は

$\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix}$

で与えられます。

2. 解き方の手順

行列式の性質を利用して計算を簡単にします。まず、行列式を列ごとに分解します。

$\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a & a \\ b & b & b \\ c & c & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & a & z \\ b & b & z \\ c & c & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & y & a \\ b & y & b \\ c & y & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & y & z \\ b & y & z \\ c & y & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & a & a \\ x & b & b \\ x & c & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & a & z \\ x & b & z \\ x & c & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & a \\ x & y & b \\ x & y & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z \end{vmatrix}$

この分解された行列式の中で、同じ列が2つ以上あるものは値が0になります。例えば、

$\begin{vmatrix} a & a & a \\ b & b & b \\ c & c & c \end{vmatrix} = 0$,

$\begin{vmatrix} a & a & z \\ b & b & z \\ c & c & z \end{vmatrix} = 0$,

$\begin{vmatrix} a & y & a \\ b & y & b \\ c & y & c \end{vmatrix} = 0$,

$\begin{vmatrix} x & a & a \\ x & b & b \\ x & c & c \end{vmatrix} = 0$,

$\begin{vmatrix} x & y & y \\ x & y & y \\ x & y & y \end{vmatrix} = 0$

したがって、

$\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & y & z \\ b & y & z \\ c & y & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & a & z \\ x & b & z \\ x & c & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & a \\ x & y & b \\ x & y & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z \end{vmatrix}$

さらに、行の性質を利用して、

$\begin{vmatrix} a & y & z \\ b & y & z \\ c & y & z \end{vmatrix} = yz \begin{vmatrix} a \\ b \\ c \end{vmatrix} - yz\begin{vmatrix} a \\ b \\ c \end{vmatrix} = 0$

$\begin{vmatrix} x & a & z \\ x & b & z \\ x & c & z \end{vmatrix} = 0$

$\begin{vmatrix} x & y & a \\ x & y & b \\ x & y & c \end{vmatrix} = 0$

そして、この行列式は列を分解できることを利用すると、

$\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a & a \\ b & b & b \\ c & c & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0$

あるいは、1列目から2列目を引くと、

$\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x-y & a+y & a+z \\ x-y & b+y & b+z \\ x-y & c+y & c+z \end{vmatrix}$

さらに、2列目から3列目を引くと、

$\begin{vmatrix} x-y & y-z & a+z \\ x-y & y-z & b+z \\ x-y & y-z & c+z \end{vmatrix}$

同様に行列式の性質を使うと、結局0になる。

また、1列目をC1, 2列目をC2, 3列目をC3とする。C1からC2を引いたものをC1'とすると、

C1' = C1 - C2

$\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x-y & a+y & a+z \\ x-y & b+y & b+z \\ x-y & c+y & c+z \end{vmatrix}$

C2からC3を引いたものをC2'とすると、

C2' = C2 - C3

$\begin{vmatrix} x-y & y-z & a+z \\ x-y & y-z & b+z \\ x-y & y-z & c+z \end{vmatrix}$

C1-C2をすると、

$\begin{vmatrix} x-y-(y-z) & y-z & a+z \\ x-y-(y-z) & y-z & b+z \\ x-y-(y-z) & y-z & c+z \end{vmatrix} = (x-y-y+z)\begin{vmatrix} 1 & y-z & a+z \\ 1 & y-z & b+z \\ 1 & y-z & c+z \end{vmatrix}$

また、

$\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a & a \\ b & b & b \\ c & c & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z \end{vmatrix}$

と分解すると考えやすい

3. 最終的な答え

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