与えられた2つの数を解とする2次方程式を1つ作成する問題です。３つの問題があります。 (1) -2, 5 (2) $2-\sqrt{5}$, $2+\sqrt{5}$ (3) $-1-3i$, $-1+3i$

1. 問題の内容

与えられた2つの数を解とする2次方程式を1つ作成する問題です。３つの問題があります。

(1) -2, 5

(2) $2-\sqrt{5}$, $2+\sqrt{5}$

(3) $-1-3i$, $-1+3i$

2. 解き方の手順

2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、それらを解に持つ2次方程式は

$(x-\alpha)(x-\beta) = 0$

と表せます。これを展開すると、

$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

となります。したがって、解の和$\alpha + \beta$と解の積$\alpha\beta$を計算し、上記の式に代入することで2次方程式を求めることができます。

(1) $\alpha = -2$, $\beta = 5$の場合

解の和: $\alpha + \beta = -2 + 5 = 3$

解の積: $\alpha\beta = (-2)(5) = -10$

よって、2次方程式は$x^2 - 3x - 10 = 0$となります。

(2) $\alpha = 2-\sqrt{5}$, $\beta = 2+\sqrt{5}$の場合

解の和: $\alpha + \beta = (2-\sqrt{5}) + (2+\sqrt{5}) = 4$

解の積: $\alpha\beta = (2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$

よって、2次方程式は$x^2 - 4x - 1 = 0$となります。

(3) $\alpha = -1-3i$, $\beta = -1+3i$の場合

解の和: $\alpha + \beta = (-1-3i) + (-1+3i) = -2$

解の積: $\alpha\beta = (-1-3i)(-1+3i) = (-1)^2 - (3i)^2 = 1 - (-9) = 10$

よって、2次方程式は$x^2 + 2x + 10 = 0$となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 3x - 10 = 0$

(2) $x^2 - 4x - 1 = 0$

(3) $x^2 + 2x + 10 = 0$