与えられた2x2行列AとBに対して、積ABとBAを計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2x2行列AとBに対して、積ABとBAを計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*0 + 2*2 & 1*1 + 2*0 \\ 2*0 + 1*2 & 2*1 + 1*0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0*1 + 1*2 & 0*2 + 1*1 \\ 2*1 + 0*2 & 2*2 + 0*1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0*1 + (-1)*0 & 0*0 + (-1)*(-1) \\ 1*1 + 0*0 & 1*0 + 0*(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*0 + 0*1 & 1*(-1) + 0*0 \\ 0*0 + (-1)*1 & 0*(-1) + (-1)*0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2*0 + 0*1 & 2*0 + 0*0 \\ 0*0 + 1*1 & 0*0 + 1*0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0*2 + 0*0 & 0*0 + 0*1 \\ 1*2 + 0*0 & 1*0 + 0*1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

(4) $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} c & d \\ d & c \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a*c + b*d & a*d + b*c \\ b*c + a*d & b*d + a*c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac+bd & ad+bc \\ ad+bc & ac+bd \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} c & d \\ d & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c*a + d*b & c*b + d*a \\ d*a + c*b & d*b + c*a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac+bd & ad+bc \\ ad+bc & ac+bd \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $AB = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, $BA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $BA = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

(4) $AB = \begin{pmatrix} ac+bd & ad+bc \\ ad+bc & ac+bd \end{pmatrix}$, $BA = \begin{pmatrix} ac+bd & ad+bc \\ ad+bc & ac+bd \end{pmatrix}$