与えられた2次関数の頂点の座標または最大値/最小値を求める問題です。具体的には、以下の関数について解答します。 (5) $y = -2(x + 1)^2 - 4$ (6) $y = x^2 - 6x + 5$ (7) $y = -x^2 + 4x + 5$ (8) $y = -2x^2 + 8x - 3$ (9) $y = x^2 - 4x + 7$ (10) $y = -x^2 - 6x - 2$

1. 問題の内容

与えられた2次関数の頂点の座標または最大値/最小値を求める問題です。具体的には、以下の関数について解答します。

(5) $y = -2(x + 1)^2 - 4$

(6) $y = x^2 - 6x + 5$

(7) $y = -x^2 + 4x + 5$

(8) $y = -2x^2 + 8x - 3$

(9) $y = x^2 - 4x + 7$

(10) $y = -x^2 - 6x - 2$

2. 解き方の手順

(5) $y = -2(x + 1)^2 - 4$

この式は平方完成された形なので、頂点の座標は直接読み取れます。

頂点のx座標は$x = -1$、y座標は$y = -4$です。

(6) $y = x^2 - 6x + 5$

平方完成を行います。

$y = (x^2 - 6x) + 5$

$y = (x^2 - 6x + 9) + 5 - 9$

$y = (x - 3)^2 - 4$

頂点の座標は $(3, -4)$ です。

(7) $y = -x^2 + 4x + 5$

平方完成を行います。

$y = -(x^2 - 4x) + 5$

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 5 + 4$

$y = -(x - 2)^2 + 9$

頂点の座標は $(2, 9)$ です。

(8) $y = -2x^2 + 8x - 3$

平方完成を行います。

$y = -2(x^2 - 4x) - 3$

$y = -2(x^2 - 4x + 4) - 3 + 8$

$y = -2(x - 2)^2 + 5$

頂点の座標は $(2, 5)$ です。

(9) $y = x^2 - 4x + 7$

平方完成を行います。

$y = (x^2 - 4x) + 7$

$y = (x^2 - 4x + 4) + 7 - 4$

$y = (x - 2)^2 + 3$

これは下に凸の放物線なので、頂点で最小値をとります。最小値は $3$ です。

(10) $y = -x^2 - 6x - 2$

平方完成を行います。

$y = -(x^2 + 6x) - 2$

$y = -(x^2 + 6x + 9) - 2 + 9$

$y = -(x + 3)^2 + 7$

これは上に凸の放物線なので、頂点で最大値をとります。最大値は $7$ です。

3. 最終的な答え

(5) 頂点の座標: $(-1, -4)$

(6) 頂点の座標: $(3, -4)$

(7) 頂点の座標: $(2, 9)$

(8) 頂点の座標: $(2, 5)$

(9) 最小値: $3$

(10) 最大値: $7$