与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。具体的には、 (1) 頂点の座標と通る1点が与えられたとき (2) 頂点の座標と通る1点が与えられたとき (3) 通る3点が与えられたとき (4) 通る3点が与えられたとき のそれぞれの場合について、2次関数を決定します。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。具体的には、

(1) 頂点の座標と通る1点が与えられたとき

(2) 頂点の座標と通る1点が与えられたとき

(3) 通る3点が与えられたとき

(4) 通る3点が与えられたとき

のそれぞれの場合について、2次関数を決定します。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が(2,-3)で、点(1,-1)を通る場合

頂点の座標が与えられているので、2次関数を $y = a(x-2)^2 - 3$ と置くことができます。

この関数が点(1,-1)を通るので、$x=1, y=-1$を代入すると、

$-1 = a(1-2)^2 - 3$

$-1 = a - 3$

$a = 2$

よって、2次関数は $y = 2(x-2)^2 - 3 = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$

(2) 頂点が点(2,-1)で、点(0,3)を通る場合

頂点の座標が与えられているので、2次関数を $y = a(x-2)^2 - 1$ と置くことができます。

この関数が点(0,3)を通るので、$x=0, y=3$を代入すると、

$3 = a(0-2)^2 - 1$

$3 = 4a - 1$

$4a = 4$

$a = 1$

よって、2次関数は $y = (x-2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3$

(3) 3点(0,3), (1,0), (2,-1)を通る場合

2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ と置きます。

この関数が3点(0,3), (1,0), (2,-1)を通るので、$x,y$にそれぞれの座標を代入すると、

$3 = a(0)^2 + b(0) + c$ より $c = 3$

$0 = a(1)^2 + b(1) + c$ より $a + b + c = 0$

$-1 = a(2)^2 + b(2) + c$ より $4a + 2b + c = -1$

$c = 3$ を代入すると

$a + b + 3 = 0$ より $a + b = -3$

$4a + 2b + 3 = -1$ より $4a + 2b = -4$, つまり $2a + b = -2$

$2a+b = -2$ から $a+b = -3$を引くと、

$a = 1$

$a + b = -3$ に $a = 1$ を代入すると、$1 + b = -3$ より $b = -4$

よって、2次関数は $y = x^2 - 4x + 3$

(4) 3点(-1,0), (1,6), (2,6)を通る場合

2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ と置きます。

この関数が3点(-1,0), (1,6), (2,6)を通るので、$x,y$にそれぞれの座標を代入すると、

$0 = a(-1)^2 + b(-1) + c$ より $a - b + c = 0$

$6 = a(1)^2 + b(1) + c$ より $a + b + c = 6$

$6 = a(2)^2 + b(2) + c$ より $4a + 2b + c = 6$

$a + b + c = 6$ から $a - b + c = 0$を引くと、$2b = 6$ より $b = 3$

$4a + 2b + c = 6$ に $b = 3$ を代入すると、$4a + 6 + c = 6$ より $4a + c = 0$

$a + b + c = 6$ に $b = 3$ を代入すると、$a + 3 + c = 6$ より $a + c = 3$

$4a+c = 0$ から $a+c = 3$ を引くと、$3a = -3$ より $a = -1$

$a + c = 3$ に $a = -1$ を代入すると、$-1 + c = 3$ より $c = 4$

よって、2次関数は $y = -x^2 + 3x + 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 8x + 5$

(2) $y = x^2 - 4x + 3$

(3) $y = x^2 - 4x + 3$

(4) $y = -x^2 + 3x + 4$