与えられた行列の計算問題を解きます。具体的には、行列のスカラー倍、行列の和、行列の積を計算します。問題は全部で4つあります。

1. 問題の内容

与えられた行列の計算問題を解きます。具体的には、行列のスカラー倍、行列の和、行列の積を計算します。問題は全部で4つあります。

2. 解き方の手順

(1)

まず、各行列をスカラー倍します。

$3 \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -15 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}$

$4 \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$

$2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

次に、これらの行列の和と差を計算します。

$\begin{pmatrix} 6 & -15 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+4-0 & -15-8-2 \\ 9+0-2 & 0-4-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -25 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}$

(2)

まず、行列の二乗を計算します。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+9 & 6+15 \\ 6+15 & 9+25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{pmatrix}$

次に、計算結果に行列のスカラー倍を足します。

$\begin{pmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & 27 \\ 27 & 44 \end{pmatrix}$

(3)

まず、行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 & 3+8 \\ -3-1 & -9+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 11 \\ -4 & -5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8+1 & 10+1 \\ 4-3 & 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 11 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

次に、これらの行列の和を計算します。

$\begin{pmatrix} -1 & 11 \\ -4 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 & 11 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 22 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$

(4)

まず、行列の三乗を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

次に、行列の二乗のスカラー倍を計算します。

$3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^2 = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$

さらに、行列のスカラー倍を計算します。

$3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

最後に、これらの行列の和を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 9 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 19 & 26 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 10 & -25 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 17 & 27 \\ 27 & 44 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 8 & 22 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 19 & 26 \end{pmatrix}$