2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30$ について、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を調べる。共有点が2個となる $a$ の範囲と、共有点が1個となる $a$ の値を求める。

## 問題24

1. **問題の内容**

2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30$ について、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を調べる。共有点が2個となる $a$ の範囲と、共有点が1個となる $a$ の値を求める。

2. **解き方の手順**

$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数は、2次方程式 $f(x) = 0$ の実数解の個数に等しい。したがって、2次方程式 $2x^2 - 4ax + 4a^2 + 7a - 30 = 0$ の判別式 $D$ を調べる。

$D = (-4a)^2 - 4(2)(4a^2 + 7a - 30)$

$D = 16a^2 - 8(4a^2 + 7a - 30)$

$D = 16a^2 - 32a^2 - 56a + 240$

$D = -16a^2 - 56a + 240$

$D = -8(2a^2 + 7a - 30)$

$D = -8(2a-5)(a+6)$

* 共有点が2個のとき、$D > 0$ であるから、

$-8(2a-5)(a+6) > 0$

$(2a-5)(a+6) < 0$

$-6 < a < \frac{5}{2}$

* 共有点が1個のとき、$D = 0$ であるから、

$-8(2a-5)(a+6) = 0$

$(2a-5)(a+6) = 0$

$a = -6, \frac{5}{2}$

3. **最終的な答え**

共有点の個数は、$-6 < a < \frac{5}{2}$ のとき2個、$a = -6$ または $a = \frac{5}{2}$ のとき1個で、それ以外の場合は共有点はない。

ア：-6

イ：5/2