行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 10 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$ が与えられています。 以下の3つの条件それぞれを満たす2x2行列 $X$ と $Y$ を求めます。 (1) $3X + A = 2B$ (2) $\begin{cases} X + Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$ (3) $\begin{cases} 2X - 3Y = A \\ 3X - 4Y = B \end{cases}$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 10 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$ が与えられています。

以下の3つの条件それぞれを満たす2x2行列 $X$ と $Y$ を求めます。

(1) $3X + A = 2B$

(2) $\begin{cases} X + Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$

(3) $\begin{cases} 2X - 3Y = A \\ 3X - 4Y = B \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) $3X + A = 2B$ の場合

まず、$2B$ を計算します。

$2B = 2\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -4 \\ 4 & 14 \end{pmatrix}$

次に、与えられた式 $3X + A = 2B$ を $X$ について解きます。

$3X = 2B - A$

$3X = \begin{pmatrix} 10 & -4 \\ 4 & 14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 10 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ -6 & 15 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ -6 & 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{cases} X + Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$ の場合

2つの式を足し合わせると、$2X = A + B$ となります。

$A + B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 10 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -6 \\ 12 & 6 \end{pmatrix}$

$2X = \begin{pmatrix} 6 & -6 \\ 12 & 6 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 6 & -6 \\ 12 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$

$Y = A - X = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 10 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{cases} 2X - 3Y = A \\ 3X - 4Y = B \end{cases}$ の場合

1つ目の式を3倍、2つ目の式を2倍すると、

$\begin{cases} 6X - 9Y = 3A \\ 6X - 8Y = 2B \end{cases}$

2つの式を引き算すると、$-Y = 3A - 2B$ となります。

$3A = 3\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 10 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ 30 & -3 \end{pmatrix}$

$2B = 2\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -4 \\ 4 & 14 \end{pmatrix}$

$3A - 2B = \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ 30 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 & -4 \\ 4 & 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -8 \\ 26 & -17 \end{pmatrix}$

$-Y = \begin{pmatrix} -7 & -8 \\ 26 & -17 \end{pmatrix}$

$Y = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ -26 & 17 \end{pmatrix}$

$2X = A + 3Y = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 10 & -1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 7 & 8 \\ -26 & 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 10 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 21 & 24 \\ -78 & 51 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 & 20 \\ -68 & 50 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 22 & 20 \\ -68 & 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 10 \\ -34 & 25 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $X = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}$

(3) $X = \begin{pmatrix} 11 & 10 \\ -34 & 25 \end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ -26 & 17 \end{pmatrix}$