$x > 0$ のとき、次の関数の最大値を求めよ。 (a) $f(x) = -x^2 + 8x$ (b) $f(x) = -x^2 + 8x - 11$ (c) $f(x) = -2x^3 + 15x^2 - 24x - 6$

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の関数の最大値を求めよ。

(a) $f(x) = -x^2 + 8x$

(b) $f(x) = -x^2 + 8x - 11$

(c) $f(x) = -2x^3 + 15x^2 - 24x - 6$

2. 解き方の手順

(a)

$f(x) = -x^2 + 8x$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 8x) = -(x^2 - 8x + 16 - 16) = -(x - 4)^2 + 16$

$x > 0$ より、$x = 4$ のとき最大値 $16$ をとる。

(b)

$f(x) = -x^2 + 8x - 11$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 8x) - 11 = -(x^2 - 8x + 16 - 16) - 11 = -(x - 4)^2 + 16 - 11 = -(x - 4)^2 + 5$

$x > 0$ より、$x = 4$ のとき最大値 $5$ をとる。

(c)

$f(x) = -2x^3 + 15x^2 - 24x - 6$ を微分する。

$f'(x) = -6x^2 + 30x - 24$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-6x^2 + 30x - 24 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

$x = 1, 4$

$f'(x)$ の符号を調べる。

$x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$

$1 < x < 4$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > 4$ のとき、$f'(x) < 0$

$x = 1$ で極小値、 $x = 4$ で極大値をとる。

$f(1) = -2 + 15 - 24 - 6 = -17$

$f(4) = -2(4^3) + 15(4^2) - 24(4) - 6 = -2(64) + 15(16) - 96 - 6 = -128 + 240 - 96 - 6 = 10$

$x > 0$ より、$x = 4$ で最大値 $10$ をとる。

3. 最終的な答え

(a) 最大値: 16

(b) 最大値: 5

(c) 最大値: 10