関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ について、定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。ただし、$a$ は定数です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ について、定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。ただし、$a$ は定数です。

2. 解き方の手順

(1) 最大値を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 4ax) - a$

$y = -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) - a$

$y = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a$

これにより、頂点の座標が $(2a, 4a^2 - a)$ であることがわかります。

軸 $x=2a$ の位置によって、最大値を取る場所が変わります。以下の3つの場合分けを行います。

(i) $2a < 0$ のとき（$a < 0$ のとき）

定義域の左端 $x=0$ で最大値を取ります。

$x=0$ を代入すると $y = -a$ となります。

(ii) $0 \le 2a \le 2$ のとき（$0 \le a \le 1$ のとき）

頂点で最大値を取ります。

最大値は $4a^2 - a$ となります。

(iii) $2 < 2a$ のとき（$1 < a$ のとき）

定義域の右端 $x=2$ で最大値を取ります。

$x=2$ を代入すると $y = -4 + 8a - a = 7a - 4$ となります。

(2) 最小値を求める。

軸 $x=2a$ の位置によって、最小値を取る場所が変わります。以下の3つの場合分けを行います。

(i) $2a < 1$ のとき（$a < \frac{1}{2}$ のとき）

定義域の右端 $x=2$ で最小値を取ります。

$x=2$ を代入すると $y = -4 + 8a - a = 7a - 4$ となります。

(ii) $1 \le 2a \le 2$ のとき（$\frac{1}{2} \le a \le 1$ のとき）

$x=0$ と $x=2$ における $y$ の値を比較します。

$x=0$ のとき $y = -a$

$x=2$ のとき $y = 7a - 4$

$7a - 4 < -a$ となるのは $a < \frac{1}{2}$ のときなので、この範囲では、$x=2$ における $y = 7a - 4$ が最小値となることはないです。軸から最も遠い$x=0$で最小値を取るので、$y=-a$が最小値。

(iii) $2 < 2a$ のとき（$1 < a$ のとき）

定義域の左端 $x=0$ で最小値を取ります。

$x=0$ を代入すると $y = -a$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$a < 0$ のとき、$-a$

$0 \le a \le 1$ のとき、$4a^2 - a$

$1 < a$ のとき、$7a - 4$

(2) 最小値

$a < \frac{1}{2}$ のとき、$7a - 4$

$\frac{1}{2} \le a$ のとき、$-a$