複素数 $z = 3 - 2i$ を、原点を中心として指定された角度だけ回転させた複素数を求める問題です。選択肢として、回転角が $\frac{\pi}{4}$, $-\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{6}$ の場合が与えられています。

1. 問題の内容

複素数 $z = 3 - 2i$ を、原点を中心として指定された角度だけ回転させた複素数を求める問題です。選択肢として、回転角が $\frac{\pi}{4}$, $-\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{6}$ の場合が与えられています。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を角度 $\theta$ だけ原点を中心に回転させる操作は、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ をかけることで表されます。

与えられた各角度について、回転後の複素数を計算し、選択肢の中から該当するものを探します。

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$ の場合:

$e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

回転後の複素数は

$(3-2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(3-2i)(1+i) = \frac{\sqrt{2}}{2}(3 + 3i - 2i - 2i^2) = \frac{\sqrt{2}}{2}(3 + i + 2) = \frac{\sqrt{2}}{2}(5+i) = \frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\theta = -\frac{\pi}{3}$ の場合:

$e^{-i\frac{\pi}{3}} = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) - i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

回転後の複素数は

$(3-2i)(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2}(3-2i)(1-i\sqrt{3}) = \frac{1}{2}(3 - 3i\sqrt{3} - 2i - 2\sqrt{3}) = \frac{1}{2}(3-2\sqrt{3}) - i\frac{1}{2}(3\sqrt{3}+2)$

(3) $\theta = \frac{\pi}{2}$ の場合:

$e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i(1) = i$

回転後の複素数は

$(3-2i)(i) = 3i - 2i^2 = 3i + 2 = 2 + 3i$

(4) $\theta = \frac{5\pi}{6}$ の場合:

$e^{i\frac{5\pi}{6}} = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

回転後の複素数は

$(3-2i)(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(3-2i)(-\sqrt{3}+i) = \frac{1}{2}(-3\sqrt{3} + 3i + 2i\sqrt{3} + 2) = \frac{1}{2}(2-3\sqrt{3}) + i\frac{1}{2}(3+2\sqrt{3})$

問題文に「次の角だけ回転した点を表す複素数を求めよ」とあり、選択肢の番号が(1)～(4)まで振られているので、問題文の指示としてはそれぞれの角度で回転させた複素数を求めることが期待されていると考えられます。しかし、単純に選択肢を選ぶ形であれば、(3) の $\frac{\pi}{2}$ 回転の場合に $(3-2i)i = 2+3i$ となるので、これが最も簡単な形であると考えられます。

3. 最終的な答え

それぞれの角度に対する回転後の複素数は以下の通りです。

(1) $\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{1}{2}(3-2\sqrt{3}) - i\frac{1}{2}(3\sqrt{3}+2)$

(3) $2 + 3i$

(4) $\frac{1}{2}(2-3\sqrt{3}) + i\frac{1}{2}(3+2\sqrt{3})$