与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + x - y - 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + x - y - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、2次式部分を因数分解できるか確認します。

$2x^2 + 5xy + 2y^2$ に注目し、これを因数分解します。

$2x^2 + 5xy + 2y^2 = (2x + y)(x + 2y)$

よって、与えられた式は、

$(2x + y)(x + 2y) + x - y - 1$ となります。

ここで、$(2x+y+a)(x+2y+b)$ という形になることを仮定して展開し、与えられた式と比較してみます。

$(2x+y+a)(x+2y+b) = 2x^2 + 4xy + 2bx + xy + 2y^2 + by + ax + 2ay + ab$

$= 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2b + a)x + (b + 2a)y + ab$

与えられた式と比較すると、

$2b + a = 1$

$b + 2a = -1$

$ab = -1$

上の2つの式から、$a$と$b$を求めます。

$2b + a = 1$ より $a = 1 - 2b$

これを $b + 2a = -1$ に代入すると、

$b + 2(1 - 2b) = -1$

$b + 2 - 4b = -1$

$-3b = -3$

$b = 1$

$a = 1 - 2b = 1 - 2(1) = -1$

$ab = (-1)(1) = -1$ となり、条件を満たします。

したがって、因数分解の結果は $(2x + y - 1)(x + 2y + 1)$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(x + 2y + 1)$