(1) $1 \le x_1 < x_2 < x_3 \le 6$ を満たす整数の組 $(x_1, x_2, x_3)$ の個数を求める問題。 (2) 大中小3個のサイコロを投げるとき、目の和が7になる場合の数と、目の積が12になる場合の数を求める問題。 (3) A, B, C の3種類の商品を合わせて10個買うとき、買わない商品があっても良い場合の買い方の総数を求める問題。

1. 問題の内容

(1) $1 \le x_1 < x_2 < x_3 \le 6$ を満たす整数の組 $(x_1, x_2, x_3)$ の個数を求める問題。

(2) 大中小3個のサイコロを投げるとき、目の和が7になる場合の数と、目の積が12になる場合の数を求める問題。

(3) A, B, C の3種類の商品を合わせて10個買うとき、買わない商品があっても良い場合の買い方の総数を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $1 \le x_1 < x_2 < x_3 \le 6$ を満たす整数の組の個数は、1から6までの6個の整数から異なる3個を選ぶ組み合わせの数に等しい。

したがって、その個数は $_6C_3$ で計算できる。

$_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2)

* 目の和が7になる場合:

まず、サイコロの目の組み合わせを列挙する。大きい順に考えると、(4, 2, 1), (3, 3, 1), (3, 2, 2) がある。

(4, 2, 1) の並び方は 3! = 6 通り。

(3, 3, 1) の並び方は $\frac{3!}{2!} = 3$ 通り。

(3, 2, 2) の並び方は $\frac{3!}{2!} = 3$ 通り。

よって、目の和が7になるのは、6 + 3 + 3 = 12通り。

* 目の積が12になる場合:

(6, 2, 1), (4, 3, 1), (3, 2, 2) がある。

(6, 2, 1) の並び方は 3! = 6 通り。

(4, 3, 1) の並び方は 3! = 6 通り。

(3, 2, 2) の並び方は $\frac{3!}{2!} = 3$ 通り。

よって、目の積が12になるのは、6 + 6 + 3 = 15通り。

(3) A, B, C の3種類の商品を合わせて10個買うとき、買わない商品があっても良い場合の買い方の総数は、重複組み合わせの問題。

これは、3つの箱 A, B, C に合計10個の玉を入れる方法の数と考えることができる。

重複組み合わせの公式を用いると、

$_{n+r-1}C_r$ で計算できる。ここで n=3, r=10 なので、

$_{3+10-1}C_{10} = _{12}C_{10} = _{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$

3. 最終的な答え

(1) 20通り

(2) 12通り, 15通り

(3) 66通り