質量 $0.20 \ kg$ の物体を、水平より上向き $60^\circ$ の方向に初速度 $14 \ m/s$ で投げ上げた。 (1) 最高点での運動エネルギーを求める。 (2) 力学的エネルギー保存の法則を用いて、最高点の高さ $h \ [m]$ を求める。重力加速度の大きさは $g = 9.8 \ m/s^2$ とする。有効数字2桁で答える。

1. 問題の内容

質量 $0.20 \ kg$ の物体を、水平より上向き $60^\circ$ の方向に初速度 $14 \ m/s$ で投げ上げた。

(1) 最高点での運動エネルギーを求める。

(2) 力学的エネルギー保存の法則を用いて、最高点の高さ $h \ [m]$ を求める。重力加速度の大きさは $g = 9.8 \ m/s^2$ とする。有効数字2桁で答える。

2. 解き方の手順

(1) 最高点での運動エネルギー

最高点では、鉛直方向の速度成分が 0 になる。しかし、水平方向の速度成分は変わらない。

水平方向の速度成分 $v_x$ は、初速度 $v_0 = 14 \ m/s$ と角度 $\theta = 60^\circ$ を用いて、

$v_x = v_0 \cos \theta = 14 \cos 60^\circ = 14 \times \frac{1}{2} = 7 \ m/s$

運動エネルギー $K$ は、$K = \frac{1}{2}mv^2$ で与えられるので、最高点での運動エネルギー $K_{top}$ は、

$K_{top} = \frac{1}{2} \times 0.20 \times (7)^2 = 0.1 \times 49 = 4.9 \ J$

(2) 最高点の高さ

力学的エネルギー保存の法則より、初めの力学的エネルギーと最高点での力学的エネルギーは等しい。

初めの力学的エネルギーは運動エネルギーのみで、$K_0 = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 0.20 \times (14)^2 = 0.1 \times 196 = 19.6 \ J$

最高点での力学的エネルギーは、運動エネルギー $K_{top}$ と位置エネルギー $U = mgh$ の和である。

$K_0 = K_{top} + mgh$

$19.6 = 4.9 + 0.20 \times 9.8 \times h$

$14.7 = 1.96h$

$h = \frac{14.7}{1.96} = 7.5 \ m$

3. 最終的な答え

(1) $4.9 \ J$

(2) $7.5 \ m$