関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法を用いて微分せよ。ただし、$x>0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法を用いて微分せよ。ただし、$x>0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^{3x}$ の両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (x^{3x})$

対数の性質より、

$\ln y = 3x \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分として計算します。右辺は積の微分を使用します。

$\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{d}{dx} (3x \ln x)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \ln x + 3x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \ln x + 3$

$\frac{dy}{dx} = y (3 \ln x + 3)$

ここで、$y = x^{3x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{3x} (3 \ln x + 3)$

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x} (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x}(\ln x + 1)$