与えられた関数 $y = \log(x^3 \sqrt{x^2+1})$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log(x^3 \sqrt{x^2+1})$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

対数の性質と合成関数の微分（連鎖律）を利用します。

まず、対数の性質を用いて関数を変形します。

$\log(AB) = \log(A) + \log(B)$

を用いると、

$y = \log(x^3) + \log(\sqrt{x^2+1})$

となります。

さらに $\log(x^3) = 3 \log(x)$ であり、$\sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{\frac{1}{2}}$ なので、

$y = 3 \log(x) + \log((x^2+1)^{\frac{1}{2}})$

となります。

$\log(A^B) = B \log(A)$

を用いると、

$y = 3 \log(x) + \frac{1}{2} \log(x^2+1)$

となります。

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx} (3 \log(x)) = \frac{3}{x}$

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{2} \log(x^2+1)) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot \frac{d}{dx} (x^2+1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{x}{x^2+1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x} + \frac{x}{x^2+1}$

通分してまとめると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x^2+1) + x^2}{x(x^2+1)} = \frac{3x^2+3+x^2}{x(x^2+1)} = \frac{4x^2+3}{x(x^2+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^2+3}{x(x^2+1)}$