図1に示す第一象限上の4分の1の円弧の長さを、式(4)を用いて求める問題です。円の半径は1であり、円を表す式は $x^2 + y^2 = r^2$ で与えられています。媒介変数表示は $x = \sqrt{1-t^2}$, $y = t$ であり、積分範囲は $t=0$ から $t=1$ です。式(4)は $L = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt$ です。

1. 問題の内容

図1に示す第一象限上の4分の1の円弧の長さを、式(4)を用いて求める問題です。円の半径は1であり、円を表す式は $x^2 + y^2 = r^2$ で与えられています。媒介変数表示は $x = \sqrt{1-t^2}$, $y = t$ であり、積分範囲は $t=0$ から $t=1$ です。式(4)は $L = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt$ です。

2. 解き方の手順

まず、$x(t) = \sqrt{1-t^2}$ と $y(t) = t$ をそれぞれ $t$ で微分します。

$x'(t) = \frac{d}{dt} \sqrt{1-t^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}} (-2t) = \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}}$

$y'(t) = \frac{d}{dt} t = 1$

次に、$x'(t)^2$ と $y'(t)^2$ を計算します。

$x'(t)^2 = \left( \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}} \right)^2 = \frac{t^2}{1-t^2}$

$y'(t)^2 = 1^2 = 1$

次に、$\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$ を計算します。

$\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} = \sqrt{\frac{t^2}{1-t^2} + 1} = \sqrt{\frac{t^2 + 1 - t^2}{1-t^2}} = \sqrt{\frac{1}{1-t^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$

積分範囲は $a=0$ から $b=1$ なので、円弧の長さ $L$ は次のようになります。

$L = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt$

この積分は、逆三角関数 $\arcsin(t)$ の積分表示として知られています。

$L = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \left[ \arcsin(t) \right]_0^1 = \arcsin(1) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$