すべての観測値に同じ値 $\alpha$ を加えても、分散は変化しないことを証明してください。

1. 問題の内容

すべての観測値に同じ値 $\alpha$ を加えても、分散は変化しないことを証明してください。

2. 解き方の手順

まず、分散の定義を確認します。

$n$ 個の観測値 $x_1, x_2, ..., x_n$ があるとき、平均 $\bar{x}$ は

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

と定義され、分散 $s^2$ は

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

と定義されます。

次に、すべての観測値に $\alpha$ を加えた場合を考えます。新しい観測値を $y_i = x_i + \alpha$ とします。新しい平均 $\bar{y}$ は

$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i + \alpha) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \alpha = \bar{x} + \alpha$

となります。

新しい分散 $t^2$ は

$t^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i + \alpha) - (\bar{x} + \alpha))^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = s^2$

したがって、すべての観測値に $\alpha$ を加えても分散は変化しません。

3. 最終的な答え

すべての観測値に同じ値 $\alpha$ を加えても、分散は変化しない。