与えられた式 $(2x+1)^5$ の展開式における $x^2$ の項の係数と $x^3$ の項の係数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $(2x+1)^5$ の展開式における $x^2$ の項の係数と $x^3$ の項の係数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式を考える。二項定理は次のように表される。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^k$

この式を用いて、$(2x+1)^5$ を展開すると、

$(2x+1)^5 = \sum_{k=0}^{5} {5 \choose k} (2x)^{5-k} (1)^k$

$x^2$ の項の係数を求めるには、$5-k = 2$ となる $k$ を探す。したがって、$k=3$ である。

このとき、$x^2$ の項は ${5 \choose 3} (2x)^2 (1)^3 = 10 \cdot 4x^2 \cdot 1 = 40x^2$ となる。よって、$x^2$ の項の係数は $40$ である。

$x^3$ の項の係数を求めるには、$5-k = 3$ となる $k$ を探す。したがって、$k=2$ である。

このとき、$x^3$ の項は ${5 \choose 2} (2x)^3 (1)^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot 1 = 80x^3$ となる。よって、$x^3$ の項の係数は $80$ である。

3. 最終的な答え

$x^2$ の項の係数は $40$ であり、$x^3$ の項の係数は $80$ である。