与えられた集合に対して、集合演算、上限、下限を求めたり、与えられた不等式を満たす集合の上限、下限を求めたりする問題です。具体的には、 * 問1.3.1: 二つの区間 $A = (-\infty, 1]$ と $B = (0, +\infty)$ について、集合$A \setminus B$, $B \setminus A$, $A \cap B$ を求め、Aの上界の集合$U(A)$ と上限$\sup A$ を求め、Bの下界の集合$L(B)$ と下限$\inf B$を求めます。 * 問1.3.2: * (1) $A = \{x \in \mathbb{R} \mid 3x+2<5\}$ * (2) $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \leq 9\}$ * (3) $C = \{x \in \mathbb{R} \mid x^3 > 27\}$ について、それぞれ上限と下限を求めます。 * 演習問題1: $\alpha < \beta$ を満たす実数$\alpha$と$\beta$に対して、 * (1) $A = (\alpha, \beta)$ * (2) $B = \{-x^2+2x+3 \mid x \in \mathbb{R} \}$ * (3) $C = \{x^3 - 1 \mid x \in \mathbb{R} \}$ について、それぞれ上限と下限を求めます。

1. 問題の内容

与えられた集合に対して、集合演算、上限、下限を求めたり、与えられた不等式を満たす集合の上限、下限を求めたりする問題です。具体的には、

* 問1.3.1: 二つの区間 $A = (-\infty, 1]$ と $B = (0, +\infty)$ について、集合$A \setminus B$, $B \setminus A$, $A \cap B$ を求め、Aの上界の集合$U(A)$ と上限$\sup A$ を求め、Bの下界の集合$L(B)$ と下限$\inf B$を求めます。

* 問1.3.2:

* (1) $A = \{x \in \mathbb{R} \mid 3x+2<5\}$

* (2) $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \leq 9\}$

* (3) $C = \{x \in \mathbb{R} \mid x^3 > 27\}$

について、それぞれ上限と下限を求めます。

* 演習問題1: $\alpha < \beta$ を満たす実数$\alpha$と$\beta$に対して、

* (1) $A = (\alpha, \beta)$

* (2) $B = \{-x^2+2x+3 \mid x \in \mathbb{R} \}$

* (3) $C = \{x^3 - 1 \mid x \in \mathbb{R} \}$

について、それぞれ上限と下限を求めます。

2. 解き方の手順

**問1.3.1**

(1)

* $A \setminus B$ は A に含まれるが B に含まれない要素の集合です。$A = (-\infty, 1]$ であり、$B = (0, +\infty)$ なので、$A \setminus B = (-\infty, 0]$.

* $B \setminus A$ は B に含まれるが A に含まれない要素の集合です。$A = (-\infty, 1]$ であり、$B = (0, +\infty)$ なので、$B \setminus A = (1, +\infty)$.

* $A \cap B$ は A と B の両方に含まれる要素の集合です。$A = (-\infty, 1]$ であり、$B = (0, +\infty)$ なので、$A \cap B = (0, 1]$.

(2)

* A の上界の集合 $U(A)$ は、A のどの要素よりも大きいかまたは等しい実数全体の集合です。$A = (-\infty, 1]$ なので、$U(A) = [1, +\infty)$.

* A の上限 $\sup A$ は、A の上界の最小値です。$A = (-\infty, 1]$ なので、$\sup A = 1$.

(3)

* B の下界の集合 $L(B)$ は、B のどの要素よりも小さいかまたは等しい実数全体の集合です。$B = (0, +\infty)$ なので、$L(B) = (-\infty, 0]$.

* B の下限 $\inf B$ は、B の下界の最大値です。$B = (0, +\infty)$ なので、$\inf B = 0$.

**問1.3.2**

(1)

* $3x+2 < 5$ を解くと、$3x < 3$ となり、$x < 1$ となります。したがって、$A = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 1\} = (-\infty, 1)$.

* 上限: $\sup A = 1$.

* 下限: $\inf A = -\infty$.

(2)

* $x^2 \leq 9$ を解くと、$-3 \leq x \leq 3$ となります。したがって、$B = \{x \in \mathbb{R} \mid -3 \leq x \leq 3\} = [-3, 3]$.

* 上限: $\sup B = 3$.

* 下限: $\inf B = -3$.

(3)

* $x^3 > 27$ を解くと、$x > 3$ となります。したがって、$C = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\} = (3, +\infty)$.

* 上限: $\sup C = +\infty$.

* 下限: $\inf C = 3$.

**演習問題 1**

(1)

* $A = (\alpha, \beta)$ は開区間です。

* 上限: $\sup A = \beta$.

* 下限: $\inf A = \alpha$.

(2)

* $f(x) = -x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 3 = -(x-1)^2 + 4$.

* $B = \{-(x-1)^2 + 4 \mid x \in \mathbb{R} \}$ となります。これは、上に凸な放物線であり、最大値は $x=1$ のときに $4$ をとります。下にはどこまでも伸びていきます。

* 上限: $\sup B = 4$.

* 下限: $\inf B = -\infty$.

(3)

* $C = \{x^3 - 1 \mid x \in \mathbb{R} \}$.

* $x$ が大きくなるにつれて $x^3 - 1$ も大きくなり、$x$ が小さくなるにつれて $x^3 - 1$ も小さくなります。

* 上限: $\sup C = +\infty$.

* 下限: $\inf C = -\infty$.

3. 最終的な答え

**問1.3.1**

(1)

$A \setminus B = (-\infty, 0]$

$B \setminus A = (1, +\infty)$

$A \cap B = (0, 1]$

(2)

$U(A) = [1, +\infty)$

$\sup A = 1$

(3)

$L(B) = (-\infty, 0]$

$\inf B = 0$

**問1.3.2**

(1)

$\sup A = 1$

$\inf A = -\infty$

(2)

$\sup B = 3$

$\inf B = -3$

(3)

$\sup C = +\infty$

$\inf C = 3$

**演習問題 1**

(1)

$\sup A = \beta$

$\inf A = \alpha$

(2)

$\sup B = 4$

$\inf B = -\infty$

(3)

$\sup C = +\infty$

$\inf C = -\infty$