確率変数 $X_1, X_2, ..., X_n$ が、確率密度関数 $f(x;\alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x^{\alpha - 1} e^{-\frac{x}{\beta}}, (x>0; \alpha, \beta > 0)$ に従う母集団分布からの大きさ $n$ の標本であるとき、モーメント法によって母数 $\alpha, \beta$ の推定量 $\hat{\alpha}, \hat{\beta}$ を求める問題。ただし、$\Gamma(\alpha)$ はガンマ関数であり、この分布の期待値は $\alpha\beta$、分散は $\alpha\beta^2$ であることが与えられている。

1. 問題の内容

確率変数 $X_1, X_2, ..., X_n$ が、確率密度関数

$f(x;\alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x^{\alpha - 1} e^{-\frac{x}{\beta}}, (x>0; \alpha, \beta > 0)$

に従う母集団分布からの大きさ $n$ の標本であるとき、モーメント法によって母数 $\alpha, \beta$ の推定量 $\hat{\alpha}, \hat{\beta}$ を求める問題。ただし、$\Gamma(\alpha)$ はガンマ関数であり、この分布の期待値は $\alpha\beta$、分散は $\alpha\beta^2$ であることが与えられている。

2. 解き方の手順

モーメント法では、母集団分布のモーメントを標本モーメントで置き換えることで母数を推定する。

この問題では、期待値と分散が与えられているため、第一モーメント（期待値）と第二モーメントを用いて推定量を求める。

(1) 母集団分布の期待値と標本平均を等しいとおく：

$E[X] = \alpha\beta = \bar{X}$, ここで $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ は標本平均。

(2) 母集団分布の分散と標本分散を等しいとおく：

$Var[X] = \alpha\beta^2 = S^2$, ここで $S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$ は標本分散。

(3) (1)と(2)の連立方程式を解いて$\alpha$と$\beta$を求める。

(1)より $\beta = \frac{\bar{X}}{\alpha}$. これを(2)に代入すると、

$\alpha (\frac{\bar{X}}{\alpha})^2 = S^2$

$\frac{\bar{X}^2}{\alpha} = S^2$

$\alpha = \frac{\bar{X}^2}{S^2}$

(4) $\alpha$の推定値を$\beta = \frac{\bar{X}}{\alpha}$に代入して$\beta$を求める。

$\beta = \frac{\bar{X}}{\frac{\bar{X}^2}{S^2}} = \frac{S^2}{\bar{X}}$

したがって、モーメント法による推定量は、

$\hat{\alpha} = \frac{\bar{X}^2}{S^2}$

$\hat{\beta} = \frac{S^2}{\bar{X}}$

3. 最終的な答え

$\hat{\alpha} = \frac{\bar{X}^2}{S^2}$

$\hat{\beta} = \frac{S^2}{\bar{X}}$