$0^\circ < \theta < 90^\circ$ であり、$\tan \theta = 2$ のとき、$\cos \theta$ と $\cos (90^\circ + \theta)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ であり、$\tan \theta = 2$ のとき、$\cos \theta$ と $\cos (90^\circ + \theta)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = 2$ より、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$ です。

$\sin \theta = 2 \cos \theta$ となります。

三角関数の相互関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用います。

$\sin \theta = 2 \cos \theta$ を代入して、

$(2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$5 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より、$\cos \theta > 0$ であるから、

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

次に、$\cos (90^\circ + \theta)$ を計算します。

$\cos (90^\circ + \theta) = \cos 90^\circ \cos \theta - \sin 90^\circ \sin \theta$

$= 0 \cdot \cos \theta - 1 \cdot \sin \theta = - \sin \theta$

$\sin \theta = 2 \cos \theta = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

よって、$\cos (90^\circ + \theta) = - \sin \theta = - \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos (90^\circ + \theta) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$