一辺の長さが2の正方形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとします。以下の内積を求めます。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正方形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとします。以下の内積を求めます。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BC}$ は垂直なので、内積は0です。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ を求めます。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ なので、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

ここで、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 = 2^2 = 4$ であり、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ です。

したがって、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 + 0 = 4$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$ を求めます。

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$ と表せます。また、$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$なので、

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$

ここで、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ であり、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 = 2^2 = 4$ です。

したがって、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = 0 - \frac{1}{2}(4) = -2$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 4

(3) -2