一辺の長さが2の正方形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとする。以下のベクトルの内積を求める。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正方形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとする。以下のベクトルの内積を求める。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BC}$ は垂直なので、内積は0である。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos{90^\circ} = 2 \cdot 2 \cdot 0 = 0$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

ここで$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 = 2^2 = 4$、また$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$であるから、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 + 0 = 4$

別解として、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{45^\circ} = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$を求める。

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DE}$

ここで、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$であり、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DE} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{DE}| \cos{180^\circ} = 2 \cdot 1 \cdot (-1) = -2$である。

したがって、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = 0 + (-2) = -2$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 4

(3) -2