点A(2, 1)を通り、ベクトル $\vec{d} = (2, 3)$ に平行な直線を、媒介変数 $t$ を用いて表し、さらに媒介変数を消去した式で表す問題です。直線の方程式は $ax + by + c = 0$ の形で表すこと。

1. 問題の内容

点A(2, 1)を通り、ベクトル $\vec{d} = (2, 3)$ に平行な直線を、媒介変数 $t$ を用いて表し、さらに媒介変数を消去した式で表す問題です。直線の方程式は $ax + by + c = 0$ の形で表すこと。

2. 解き方の手順

(1) 媒介変数 $t$ を用いた表示

直線上の任意の点をP(x, y)とすると、$\vec{AP} = t\vec{d}$ と表せる。

$\vec{AP} = (x - 2, y - 1)$ なので、

$(x - 2, y - 1) = t(2, 3)$

したがって、

$x - 2 = 2t$

$y - 1 = 3t$

これより、

$x = 2t + 2$

$y = 3t + 1$

これが媒介変数 $t$ を用いた直線の表示です。

(2) 媒介変数を消去した式

$x = 2t + 2$ より、

$2t = x - 2$

$t = \frac{x - 2}{2}$

これを $y = 3t + 1$ に代入すると、

$y = 3(\frac{x - 2}{2}) + 1$

$y = \frac{3}{2}x - 3 + 1$

$y = \frac{3}{2}x - 2$

両辺に2を掛けて整理すると、

$2y = 3x - 4$

$3x - 2y - 4 = 0$

これが媒介変数を消去した直線の式です。

3. 最終的な答え

媒介変数 $t$ を用いた表示：

$x = 2t + 2$

$y = 3t + 1$

媒介変数を消去した式：

$3x - 2y - 4 = 0$