一辺の長さが2の正方形ABCDがあり、辺CDの中点をEとします。以下の内積を求めます。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正方形ABCDがあり、辺CDの中点をEとします。以下の内積を求めます。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{BC}$は垂直なので、内積は0です。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}| \cos{90^{\circ}} = 2 \cdot 2 \cdot 0 = 0$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$を計算します。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$なので、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}|^2 + 0 = 2^2 = 4$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$を計算します。

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$

$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AD} -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$なので、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = -\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}|^2 = -\frac{1}{2} \cdot 2^2 = -2$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}$と考えてもよい.

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE}$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} \cdot (\frac{3}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \frac{3}{2} |\overrightarrow{AB}|^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{3}{2} \cdot 4 + 0 = 6$

$\overrightarrow{AC} = \sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

$\overrightarrow{AE} = \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

$\cos(\angle BAE) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AE}|} = \frac{6}{2 \sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

$\overrightarrow{AE} = (1, 2)$として、$\overrightarrow{AB}=(2,0)$とする。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = 2$