ベクトル $\vec{A} = (1, 2, 2)$ と $\vec{B} = (2, 2, 1)$ が与えられたとき、この2つのベクトルに直交する単位ベクトルを求め、さらにこれらのベクトルが作る平行四辺形の面積を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{A} = (1, 2, 2)$ と $\vec{B} = (2, 2, 1)$ が与えられたとき、この2つのベクトルに直交する単位ベクトルを求め、さらにこれらのベクトルが作る平行四辺形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{A}$ と $\vec{B}$ に直交するベクトルを求めます。これは外積 $\vec{A} \times \vec{B}$ を計算することで得られます。

$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(1) - (2)(2) \\ (2)(2) - (1)(1) \\ (1)(2) - (2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 4 \\ 4 - 1 \\ 2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

次に、このベクトルを単位ベクトルにするために、その大きさを計算します。

$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$

よって、$\vec{A}$ と $\vec{B}$ に直交する単位ベクトルは

$\pm \frac{1}{\sqrt{17}} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} -2/\sqrt{17} \\ 3/\sqrt{17} \\ -2/\sqrt{17} \end{pmatrix}$

となります。

次に、$\vec{A}$ と $\vec{B}$ が作る平行四辺形の面積を求めます。これは外積の大きさ $|\vec{A} \times \vec{B}|$ に等しいです。

すでに計算したように、$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{17}$ です。

3. 最終的な答え

$\vec{A}$ と $\vec{B}$ に直交する単位ベクトルは $\pm \begin{pmatrix} -2/\sqrt{17} \\ 3/\sqrt{17} \\ -2/\sqrt{17} \end{pmatrix}$ です。

$\vec{A}$ と $\vec{B}$ が作る平行四辺形の面積は $\sqrt{17}$ です。