点$(3, 0)$を中心とし、直線$4x - 3y - 2 = 0$に接する円の方程式を求める。

1. 問題の内容

点$(3, 0)$を中心とし、直線$4x - 3y - 2 = 0$に接する円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式は、中心の座標$(a, b)$と半径$r$を用いて、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

と表される。今回の問題では、中心の座標が$(3, 0)$なので、円の方程式は

$(x - 3)^2 + y^2 = r^2$

となる。

次に、半径$r$を求める。円が直線$4x - 3y - 2 = 0$に接するということは、円の中心$(3, 0)$と直線$4x - 3y - 2 = 0$との距離が半径$r$に等しいということである。点と直線の距離の公式より、点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$との距離は

$\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

である。

今回の場合は、$(x_0, y_0) = (3, 0)$、$a = 4$、$b = -3$、$c = -2$なので、

$r = \frac{|4 \cdot 3 - 3 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 - 0 - 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$

したがって、$r = 2$である。

円の方程式は、

$(x - 3)^2 + y^2 = 2^2$

$(x - 3)^2 + y^2 = 4$

展開すると、

$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 4$

$x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$

3. 最終的な答え

$(x - 3)^2 + y^2 = 4$または$x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$