円に内接する三角形ABCがあり、∠ACB = 75°, ∠OAC = 30°である。∠AOC, ∠ABCの角度を求め、さらに、点Aから辺BCに引いた垂線と辺BCとの交点をH、直線AOと辺BCとの交点をDとするとき、∠ADH, ∠DAB, ∠DAHの角度、DH/BDの値を求める。加えて、辺ACの中点をMとするときのMH/ADの値、AHと直線OMの交点Eとしたとき、点Eが三角形ADCの何であるかを問う。最後に、EH/AE, CF/FAの値を求める。

1. 問題の内容

円に内接する三角形ABCがあり、∠ACB = 75°, ∠OAC = 30°である。∠AOC, ∠ABCの角度を求め、さらに、点Aから辺BCに引いた垂線と辺BCとの交点をH、直線AOと辺BCとの交点をDとするとき、∠ADH, ∠DAB, ∠DAHの角度、DH/BDの値を求める。加えて、辺ACの中点をMとするときのMH/ADの値、AHと直線OMの交点Eとしたとき、点Eが三角形ADCの何であるかを問う。最後に、EH/AE, CF/FAの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、∠AOCと∠ABCを求める。

円の中心角は円周角の2倍であるから、∠AOC = 2∠ABC。

三角形OACはOA = OCの二等辺三角形であるから、∠OCA = ∠OAC = 30°。

したがって、∠AOB = 360° - ∠AOC - ∠BOC.

∠ABC = ∠ABO + ∠OBC

∠OBC = ∠OCB

三角形ABCの内角の和は180°より、∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB

次に、∠ADH, ∠DAB, ∠DAHを求める。

AHはBCへの垂線であるから、∠AHB = ∠AHC = 90°。

∠ADBは円周角の定理より、∠ADB = ∠ACB = 75°

∠ADH = 90°

∠DAB = ∠OAB = ∠BAC - ∠OAC = ∠BAC - 30°

∠DAH = 90° - ∠ADB = 90° - 75° = 15°

DH/BDの値を求める。

$\frac{DH}{BD}$は正弦定理または三角比を利用して求める。

辺ACの中点をMとするときのMH/ADの値を求める。

$\frac{MH}{AD}$

AHと直線OMの交点Eとしたとき、点Eが三角形ADCの何であるかを問う。

最後に、EH/AE, CF/FAの値を求める。

$\frac{EH}{AE}$

$\frac{CF}{FA}$

3. 最終的な答え

∠AOC = 150°

∠ABC = 75°

∠ADH = 90°

∠DAB = 15°

∠DAH = 15°

DH/BD = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

MH/AD = $\frac{1}{2}$

点Eは△ADCの重心である。

EH/AE = $\frac{1}{2}$

CF/FA = $2 + \sqrt{3}$