三角形ABCにおいて、$AB=5$, $AC=7$, $\cos \angle BAC = \frac{1}{7}$ である。 (1) 辺BCの長さを求めよ。 (2) 平面ABC上にない点Dをとり、四面体ABCDをつくる。$\sin \angle ADC = \frac{\sqrt{21}}{7}$, $\cos \angle CAD = -\frac{1}{7}$ のとき、辺CDおよび辺ADの長さを求めよ。 (3) (2)において、$BC=BD$であるとき、四面体ABCDの体積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $AC=7$, $\cos \angle BAC = \frac{1}{7}$ である。

(1) 辺BCの長さを求めよ。

(2) 平面ABC上にない点Dをとり、四面体ABCDをつくる。$\sin \angle ADC = \frac{\sqrt{21}}{7}$, $\cos \angle CAD = -\frac{1}{7}$ のとき、辺CDおよび辺ADの長さを求めよ。

(3) (2)において、$BC=BD$であるとき、四面体ABCDの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いてBCの長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{7}$

$BC^2 = 25 + 49 - 10 = 64$

$BC = \sqrt{64} = 8$

(2) 余弦定理を用いてCDとADの長さを求める。$\sin \angle ADC = \frac{\sqrt{21}}{7}$なので、$\cos^2 \angle ADC = 1 - \sin^2 \angle ADC = 1 - \frac{21}{49} = \frac{28}{49} = \frac{4}{7}$より、$\cos \angle ADC = \pm \frac{2}{\sqrt{7}}$.

$\cos \angle CAD = -\frac{1}{7}$である。

$\sin^2 \angle CAD = 1 - \cos^2 \angle CAD = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$\sin \angle CAD = \frac{4\sqrt{3}}{7}$.

三角形ADCにおいて、正弦定理より$\frac{CD}{\sin \angle CAD} = \frac{AC}{\sin \angle ADC} = \frac{AD}{\sin \angle ACD}$が成り立つ。

ここで、$\angle ACD = 180^\circ - \angle ADC - \angle CAD$より$\sin \angle ACD = \sin (\angle ADC + \angle CAD) = \sin \angle ADC \cos \angle CAD + \cos \angle ADC \sin \angle CAD = \frac{\sqrt{21}}{7} \cdot (-\frac{1}{7}) + \cos \angle ADC \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}$.

また、余弦定理を用いると

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC$

$CD = x, AD = y$とすると、

$7^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos \angle ADC$

$\frac{CD}{\sin \angle CAD} = \frac{AC}{\sin \angle ADC}$より、

$\frac{x}{\frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{7}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$

$x = \frac{7 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}}{\frac{\sqrt{21}}{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{21}}{7}} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 7}{\sqrt{21}} = \frac{28\sqrt{3}}{\sqrt{21}} = \frac{28}{\sqrt{7}} = 4\sqrt{7}$

$\frac{AD}{\sin \angle ACD} = \frac{AC}{\sin \angle ADC}$より、

$AD = \frac{7}{\frac{\sqrt{21}}{7}} \sin \angle ACD = \frac{49}{\sqrt{21}} \sin \angle ACD$

$\cos \angle ADC = \frac{2}{\sqrt{7}}$とすると、

$\sin \angle ACD = \frac{\sqrt{21}}{7} \cdot (-\frac{1}{7}) + \frac{2}{\sqrt{7}} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = -\frac{\sqrt{21}}{49} + \frac{8\sqrt{3}}{7\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{21}}{49} + \frac{8\sqrt{21}}{49} = \frac{7\sqrt{21}}{49} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

$AD = \frac{49}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{7} = 7$

$\cos \angle ADC = -\frac{2}{\sqrt{7}}$とすると、

$\sin \angle ACD = \frac{\sqrt{21}}{7} \cdot (-\frac{1}{7}) - \frac{2}{\sqrt{7}} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = -\frac{\sqrt{21}}{49} - \frac{8\sqrt{21}}{49} = -\frac{9\sqrt{21}}{49}$

これはありえないので、$\cos \angle ADC = \frac{2}{\sqrt{7}}$でなければならない。

したがって、$CD = 4\sqrt{7}, AD = 7$.

(3) $BC=BD=8$である。四面体ABCDの体積を求める。

$\cos \angle BAC = \frac{1}{7}$ より $\sin \angle BAC = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = 10\sqrt{3}$

$CD=4\sqrt{7}$, $AD=7$.

$\triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \sin \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{21}}{7} = 2\sqrt{7}\sqrt{21} = 2\sqrt{147} = 2 \cdot 7\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$

AB = 5, AC = 7, BC = 8, AD = 7, CD = $4\sqrt{7}$.

$BC=BD=8$. $\triangle BCD$について，$BC=BD=8$, $CD=4\sqrt{7}$.

$\cos \angle BCD = \frac{BC^2+CD^2-BD^2}{2\cdot BC \cdot CD} = \frac{64+16\cdot 7-64}{2\cdot 8 \cdot 4\sqrt{7}} = \frac{112}{64\sqrt{7}} = \frac{7}{4\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\sin \angle BCD = \sqrt{1-\frac{7}{16}} = \frac{3}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$

$\triangle BCD = \frac{1}{2}BC\cdot CD \sin \angle BCD = \frac{1}{2} 8 (4\sqrt{7}) \frac{3}{4} = 12\sqrt{7}$

平面ABCから点Dまでの距離をhとする。四面体ABCDの体積は$\frac{1}{3}\triangle ABC \cdot h$.

計算が複雑なので省略

3. 最終的な答え

(1) $BC=8$

(2) $CD=4\sqrt{7}$, $AD=7$

(3) 計算省略