円Oに内接する三角形ABCがあり、$\angle ACB = 75^\circ$, $\angle OAC = 30^\circ$である。このとき、$\angle AOC$, $\angle ABC$, $\angle ADH$, $\angle DAB$, $\angle DAH$, $\frac{DH}{BD}$を求める。また、辺ACの中点をMとしたとき、$\frac{MH}{AD}$を求め、点Eが$\triangle ADC$の何であるかを問う。さらに、$\frac{EH}{AE}$と$\frac{CF}{FA}$を求める。

1. 問題の内容

円Oに内接する三角形ABCがあり、$\angle ACB = 75^\circ$, $\angle OAC = 30^\circ$である。このとき、$\angle AOC$, $\angle ABC$, $\angle ADH$, $\angle DAB$, $\angle DAH$, $\frac{DH}{BD}$を求める。また、辺ACの中点をMとしたとき、$\frac{MH}{AD}$を求め、点Eが$\triangle ADC$の何であるかを問う。さらに、$\frac{EH}{AE}$と$\frac{CF}{FA}$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle OAC$において、$OA = OC$より、$\angle OCA = \angle OAC = 30^\circ$。したがって、$\angle AOC = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$。

次に、円周角の定理より、$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$。

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$。

$\angle OAB = \angle BAC - \angle OAC = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ$。

$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$。

直線AOと辺BCの交点をD、点Aから辺BCに引いた垂線と辺BCとの交点をHとすると、$\angle AHD = 90^\circ$。

$\angle BAD = \angle OAB = 15^\circ$。

$\angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - 15^\circ - 60^\circ = 105^\circ$。

$\angle ADH = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$。

$\angle DAH = 90^\circ - \angle ADH = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$。

正弦定理より、$\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin \angle BAD}$。

$\frac{AD}{\sin 60^\circ} = \frac{BD}{\sin 15^\circ}$。

$\frac{AD}{BD} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 15^\circ}$。

$\triangle ADH$において、$\tan \angle DAH = \frac{DH}{AH}$。

$\frac{DH}{AD} = \sin \angle DAH = \sin 15^\circ$。

$\frac{DH}{BD} = \frac{DH}{AD} \times \frac{AD}{BD} = \sin 15^\circ \times \frac{\sin 60^\circ}{\sin 15^\circ} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

3. 最終的な答え

$\angle AOC = 120^\circ$

$\angle ABC = 60^\circ$

$\angle ADH = 75^\circ$

$\angle DAB = 15^\circ$

$\angle DAH = 15^\circ$

$\frac{DH}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$