点A(3, -1)を通り、直線 $2x - 3y + 6 = 0$ に垂直な直線と平行な直線のそれぞれの方程式を求める。

1. 問題の内容

点A(3, -1)を通り、直線 $2x - 3y + 6 = 0$ に垂直な直線と平行な直線のそれぞれの方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた直線の傾きを求める。直線 $2x - 3y + 6 = 0$ を $y$ について解くと、

$3y = 2x + 6$

$y = \frac{2}{3}x + 2$

したがって、この直線の傾きは $\frac{2}{3}$ である。

(2) 与えられた直線に垂直な直線の傾きを求める。垂直な直線の傾きは、与えられた直線の傾きの逆数の符号を反転させたものである。したがって、垂直な直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ である。

(3) 点A(3, -1)を通り、傾きが $-\frac{3}{2}$ の直線の方程式を求める。点傾き式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使うと、

$y - (-1) = -\frac{3}{2}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$

両辺に2を掛けて整理すると、$2y = -3x + 7$ となり、

$3x + 2y - 7 = 0$

(4) 点A(3, -1)を通り、与えられた直線に平行な直線の方程式を求める。平行な直線は同じ傾きを持つので、傾きは $\frac{2}{3}$ である。点傾き式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使うと、

$y - (-1) = \frac{2}{3}(x - 3)$

$y + 1 = \frac{2}{3}x - 2$

$y = \frac{2}{3}x - 3$

両辺に3を掛けて整理すると、$3y = 2x - 9$ となり、

$2x - 3y - 9 = 0$

3. 最終的な答え

直線 $2x - 3y + 6 = 0$ に垂直な直線の方程式: $3x + 2y - 7 = 0$

直線 $2x - 3y + 6 = 0$ に平行な直線の方程式: $2x - 3y - 9 = 0$