3つのベクトル $\vec{A} = (2, 1, 1)$, $\vec{B} = (1, 3, 1)$, $\vec{C} = (1, 1, 3)$ が作る平行六面体の体積を求めます。

1. 問題の内容

3つのベクトル $\vec{A} = (2, 1, 1)$, $\vec{B} = (1, 3, 1)$, $\vec{C} = (1, 1, 3)$ が作る平行六面体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

平行六面体の体積は、3つのベクトル $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ のスカラー三重積の絶対値で与えられます。スカラー三重積は、行列式を用いて計算できます。

体積 $V$ は次のように計算されます。

$V = |\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})| = \left| \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} \right|$

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2(3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) - 1(1 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 1(1 \cdot 1 - 3 \cdot 1)$

$= 2(9 - 1) - (3 - 1) + (1 - 3)$

$= 2(8) - 2 + (-2)$

$= 16 - 2 - 2$

$= 12$

したがって、体積 $V$ は

$V = |12| = 12$

3. 最終的な答え

12