(1) 0でない2つのベクトル $\vec{a}=(a_1, a_2)$ と $\vec{b}=(a_2, -a_1)$ が垂直であることを示せ。 (2) (1)を利用して、$\vec{a}=(\sqrt{3}, 1)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 0でない2つのベクトル $\vec{a}=(a_1, a_2)$ と $\vec{b}=(a_2, -a_1)$ が垂直であることを示せ。

(2) (1)を利用して、$\vec{a}=(\sqrt{3}, 1)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトルが垂直であることは、その内積が0であることと同値です。したがって、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ を示します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1a_2 + a_2(-a_1) = a_1a_2 - a_1a_2 = 0$

したがって、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は垂直です。

(2) (1)より、$\vec{a}=(\sqrt{3}, 1)$ に垂直なベクトル $\vec{b}$ は、$\vec{b}=(1, -\sqrt{3})$ と表せます。

次に、$\vec{b}$ を単位ベクトルにする必要があります。

$\vec{b}$ の大きさは、

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

したがって、単位ベクトル $\vec{e}$ は、

$\vec{e} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(1, -\sqrt{3})}{2} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

また、ベクトル $\vec{b} = (-1, \sqrt{3})$もベクトル $\vec{a}$ に垂直であるため、単位ベクトルは

$\vec{e} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(-1, \sqrt{3})}{2} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ より、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は垂直である。

(2) $\vec{e} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ または $\vec{e} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$