与えられた二次式 $6x^2 + ax - a^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた二次式 $6x^2 + ax - a^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた二次式 $6x^2 + ax - a^2$ を因数分解します。

この式は、2つの一次式の積の形 $(px + qa)(rx + sa)$ で表されると仮定します。展開すると $prx^2 + (ps + qr)x + qsa^2$ となります。

したがって、以下の条件が成り立ちます。

* $pr = 6$

* $ps + qr = a$

* $qs = -1$

$pr = 6$ となる整数の組み合わせは、$(p, r) = (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$ などが考えられます。

$qs = -1$ となる整数の組み合わせは、$(q, s) = (1, -1), (-1, 1)$ が考えられます。

これらの組み合わせを試して、$ps + qr = a$ を満たすものを探します。

* $(p, r) = (2, 3)$ かつ $(q, s) = (1, -1)$ の場合: $2(-1) + 1(3) = -2 + 3 = 1$. これは $a$ と一致しません。

* $(p, r) = (2, 3)$ かつ $(q, s) = (-1, 1)$ の場合: $2(1) + (-1)(3) = 2 - 3 = -1$. これも $a$ と一致しません。

ここで、$6x^2 + ax - a^2$ を $(px + qa)(rx + sa)$ の形に変形することを考えます。

$6x^2 + ax - a^2 = (2x + a)(3x - a)$ の場合、展開すると $6x^2 - 2ax + 3ax - a^2 = 6x^2 + ax - a^2$ となり、与えられた式と一致します。

したがって、$6x^2 + ax - a^2 = (2x + a)(3x - a)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(2x + a)(3x - a)$