座標平面上に3点 A(1, 0), B(14, 0), C(5, 3) を頂点とする三角形 ABC について、以下の問いに答える。 (1) 三角形 ABC の重心の座標を求める。 (2) 三角形 ABC の外心の座標を求める。 (3) 三角形 ABC の内心の座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 A(1, 0), B(14, 0), C(5, 3) を頂点とする三角形 ABC について、以下の問いに答える。

(1) 三角形 ABC の重心の座標を求める。

(2) 三角形 ABC の外心の座標を求める。

(3) 三角形 ABC の内心の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 重心の座標

三角形 ABC の重心 G の座標は、各頂点の座標の平均である。

したがって、重心 G の座標は

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G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)

$$$$

ここで、$A(1, 0)$, $B(14, 0)$, $C(5, 3)$ を代入すると、

$$$$

G = \left(\frac{1 + 14 + 5}{3}, \frac{0 + 0 + 3}{3}\right) = \left(\frac{20}{3}, 1\right)

$$$$

(2) 外心の座標

外心 O は、三角形 ABC の各頂点からの距離が等しい点である。

O(x, y) とすると、

$OA^2 = OB^2 = OC^2$

$OA^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2$

$OB^2 = (x - 14)^2 + (y - 0)^2 = (x - 14)^2 + y^2$

$OC^2 = (x - 5)^2 + (y - 3)^2$

$OA^2 = OB^2$ より、 $(x - 1)^2 + y^2 = (x - 14)^2 + y^2$

$(x - 1)^2 = (x - 14)^2$

$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 28x + 196$

$26x = 195$

$x = \frac{195}{26} = \frac{15}{2}$

$OA^2 = OC^2$ より、 $(\frac{15}{2} - 1)^2 + y^2 = (\frac{15}{2} - 5)^2 + (y - 3)^2$

$(\frac{13}{2})^2 + y^2 = (\frac{5}{2})^2 + y^2 - 6y + 9$

$\frac{169}{4} = \frac{25}{4} - 6y + 9$

$6y = \frac{25}{4} - \frac{169}{4} + 9 = \frac{-144}{4} + 9 = -36 + 9 = -27$

$y = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2}$

したがって、外心の座標は $(\frac{15}{2}, -\frac{9}{2})$

(3) 内心の座標

まず、三角形 ABC の各辺の長さを求める。

$AB = \sqrt{(14 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{13^2} = 13$

$BC = \sqrt{(5 - 14)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

$CA = \sqrt{(1 - 5)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

内心 I の座標を (x, y) とすると、

$I = \frac{BC \cdot A + CA \cdot B + AB \cdot C}{AB + BC + CA}$

$I = \left(\frac{3\sqrt{10} \cdot 1 + 5 \cdot 14 + 13 \cdot 5}{13 + 3\sqrt{10} + 5}, \frac{3\sqrt{10} \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 13 \cdot 3}{13 + 3\sqrt{10} + 5}\right)$

$I = \left(\frac{3\sqrt{10} + 70 + 65}{18 + 3\sqrt{10}}, \frac{39}{18 + 3\sqrt{10}}\right) = \left(\frac{3\sqrt{10} + 135}{18 + 3\sqrt{10}}, \frac{13}{6 + \sqrt{10}}\right)$

$I = \left(\frac{\sqrt{10} + 45}{6 + \sqrt{10}}, \frac{13(6-\sqrt{10})}{36-10}\right) = \left(\frac{(\sqrt{10} + 45)(6 - \sqrt{10})}{26}, \frac{13(6-\sqrt{10})}{26}\right)$

$I = \left(\frac{6\sqrt{10} - 10 + 270 - 45\sqrt{10}}{26}, \frac{6 - \sqrt{10}}{2}\right) = \left(\frac{260 - 39\sqrt{10}}{26}, \frac{6 - \sqrt{10}}{2}\right) = \left(10 - \frac{3}{2}\sqrt{10}, 3 - \frac{\sqrt{10}}{2}\right)$

3. 最終的な答え

(1) 重心の座標: $(\frac{20}{3}, 1)$

(2) 外心の座標: $(\frac{15}{2}, -\frac{9}{2})$

(3) 内心の座標: $(10 - \frac{3}{2}\sqrt{10}, 3 - \frac{\sqrt{10}}{2})$