一辺の長さが6の立方体ABCD-EFGHがある。辺AB, AD, CGの中点をそれぞれM, N, Oとする。3点M, N, Oを通る平面でこの立方体を切ったとき、頂点Cを含む立体の体積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の立方体ABCD-EFGHがある。辺AB, AD, CGの中点をそれぞれM, N, Oとする。3点M, N, Oを通る平面でこの立方体を切ったとき、頂点Cを含む立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず立方体の体積を求める。立方体の体積は、$6^3 = 216$。

次に、立方体から切り取られる三角錐の体積を求める。切り取られる三角錐は、三角錐A-MNOと三角錐B-MFE、三角錐D-NHE、三角錐C-ONGの合計4つである。しかし、A-MNO, B-MFE, D-NHEは合同であるため、これらの合計体積を3倍して、C-ONGの体積を加えれば良い。

AM = AN = 3

CG = 6より、CO = OG = 3

三角錐A-MNOの体積は、$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times 6 = 9$

したがって、A-MNO, B-MFE, D-NHEの3つの三角錐の体積の合計は、$9 \times 3 = 27$

三角錐C-ONGの体積は、$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 6 \times 3 \times 3 = 9$

切り取られる体積の合計は、$27 + 9 = 36$

求める立体の体積は、$216 - 36 = 180$。

ただし、上記の手順は誤りである。

正しい解き方:

立方体の体積は $6^3 = 216$ である。

問題の立体は、立方体から合同な四面体AMON, BMEF, DNEHを取り除いたものである。

四面体AMONの体積は、底面を三角形AMNとすると、底面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$ である。

高さは6であるから、体積は $\frac{1}{3} \times \frac{9}{2} \times 6 = 9$ である。

同様に、BMEF, DNEHの体積も9である。

したがって、3つの四面体の体積の合計は $9 \times 3 = 27$ である。

問題の立体の体積は、$216 - 27 = 189$である。

しかしこれは選択肢にない。

頂点Cを含む立体の体積は、立方体の体積から、頂点E, F, G, Hを含む部分の体積を引いたものとして計算できる。立方体の体積は $6^3=216$ である。

頂点E, F, G, Hを含む部分の体積は、四角錐E-MFGHと四角錐H-NFGHを合わせたものから、立方体の体積を引いたものを2で割ると考えられる。

しかし、これは難しい。

頂点Cを含む立体の体積を直接計算する。この立体は、四角形ABND, ACMO, CNDO, BCGE, ADHEなどを面とする多面体である。

この立体の体積を求めるのは難しい。

元の立方体の体積から、四面体MABNの体積と、四面体CGNOの体積を引いたものが、頂点Cを含む立体の体積になると考えたが、MABNは四面体ではない。

立方体から、四面体A-MNO, 三角錐B-MEF, 三角錐D-NEHを引くと、頂点Cを含む立体になる。

A-MNO, B-MEF, D-NEHの体積は全て等しい。

AM=AN=3なので、四面体A-MNOの体積は $\frac{1}{6} \times 3 \times 3 \times 6 = 9$

立方体の体積は216。従って求める体積は $216-3 \times 9 = 216-27 = 189$

これも選択肢にない。

問題文の読み間違いの可能性もある。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の立方体ABCD-EFGHを、辺AB, AD, CGの中点M, N, Oを通る平面で切断した時、頂点Cを含む立体の体積を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、立方体の体積は $6 \times 6 \times 6 = 216$ である。

次に、切断によって切り離される立体を考える。この立体は、頂点A, B, Dを含み、それぞれM, F, E, N, Hを頂点とする三角錐に近い形をしている。

頂点Cを含む立体の体積は、立方体の体積からこれらの切り離される立体の体積を引いたものである。

3点M, N, Oを通る平面で立方体を切断したとき、頂点Cを含む側の立体の体積を求める。

体積を直接求めるのは難しいので、いくつかの立体に分割することを考える。

3. 最終的な答え

選択肢から最も近い値を選ぶとすれば、39だろうか。しかし、39という値はどのように計算されたのか不明である。

問題文と図をよく確認する必要がある。

解けませんでした。