与えられた4次多項式 $P(x) = x^4 + x^3 - 19x^2 + x - 20$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた4次多項式 $P(x) = x^4 + x^3 - 19x^2 + x - 20$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、整数係数を持つ多項式の有理根定理を利用して、可能な有理根を見つけます。定数項は-20であり、最高次の係数は1なので、考えられる有理根は±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20です。これらの値を $P(x)$ に代入して、根を探します。

* $P(1) = 1 + 1 - 19 + 1 - 20 = -36 \neq 0$

* $P(-1) = 1 - 1 - 19 - 1 - 20 = -40 \neq 0$

* $P(4) = 4^4 + 4^3 - 19(4^2) + 4 - 20 = 256 + 64 - 304 + 4 - 20 = 0$

したがって、$x=4$ は $P(x)$ の根であり、$x-4$ は $P(x)$ の因数です。次に、$P(x)$ を $x-4$ で割ります。

```

x^3 + 5x^2 + x + 5

x - 4 | x^4 + x^3 - 19x^2 + x - 20

-(x^4 - 4x^3)

------------------

5x^3 - 19x^2

-(5x^3 - 20x^2)

------------------

x^2 + x

-(x^2 - 4x)

------------------

5x - 20

-(5x - 20)

------------------

0

```

したがって、$P(x) = (x-4)(x^3 + 5x^2 + x + 5)$ となります。

次に、$x^3 + 5x^2 + x + 5$ を因数分解します。因数分解はグループ化で行うことができます。

$x^3 + 5x^2 + x + 5 = x^2(x+5) + 1(x+5) = (x^2+1)(x+5)$

したがって、$P(x) = (x-4)(x+5)(x^2+1)$ となります。

3. 最終的な答え

$P(x) = (x-4)(x+5)(x^2+1)$