高さ4cm、底面の半径が$\sqrt{2}$cmの円錐に、中心Oを持つ球が内接しており、円錐の側面と底面に接している。このとき、球の体積を求める。

1. 問題の内容

高さ4cm、底面の半径が$\sqrt{2}$cmの円錐に、中心Oを持つ球が内接しており、円錐の側面と底面に接している。このとき、球の体積を求める。

2. 解き方の手順

円錐の頂点をA、底面の円の中心をMとする。球の中心Oから底面に下ろした垂線の足をHとすると、HはMと一致する。また、円錐の母線と球の接点をTとする。

三角形AMOにおいて、$\angle AOM = \theta$とおく。

AM = 4cm, HM = $\sqrt{2}$cmである。

円錐の側面と球は接するので、$\angle ATO = 90^{\circ}$となる。また、$\angle OAM = \theta$である。

球の半径をrとすると、OM = rとなる。

$\sin \theta = \frac{OM}{AM} = \frac{r}{4}$

また、$\tan \theta = \frac{HM}{AM} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

直角三角形ATOにおいて、

$\sin \theta = \frac{OT}{AO}$

$AO = AM - OM = 4-r$

したがって、$\sin \theta = \frac{r}{4-r}$

$\sin \theta = \frac{OT}{AO}$なので、$OT = r$から $\sin \theta = \frac{r}{AO}$

$\sin \theta = \frac{r}{4-r}$

$\cos \theta = \sqrt{1-\sin^2\theta}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{2}}{4}$なので、$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{4} \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{\sin \theta}{\tan \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\tan^2 \theta}$

$1-\sin^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\tan^2 \theta}$

$1 = \sin^2 \theta (1 + \frac{1}{\tan^2 \theta})$

$\sin^2 \theta = \frac{1}{1+\frac{1}{\tan^2 \theta}} = \frac{\tan^2 \theta}{\tan^2 \theta + 1}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$なので、$\tan^2 \theta = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

$\sin^2 \theta = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}+1} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{9}{8}} = \frac{1}{9}$

$\sin \theta = \frac{1}{3}$

$\frac{r}{4-r} = \frac{1}{3}$

$3r = 4-r$

$4r = 4$

$r = 1$

球の体積$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}\pi$ 立方センチメートル