与えられた4次多項式 $P(x) = 4x^4 - 4x^3 - 9x^2 + x + 2$ の因数分解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次多項式 $P(x) = 4x^4 - 4x^3 - 9x^2 + x + 2$ の因数分解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、多項式$P(x)$の整数解を探します。定数項は2なので、解の候補は$\pm1, \pm2$です。

$P(1) = 4 - 4 - 9 + 1 + 2 = -6 \neq 0$

$P(-1) = 4 + 4 - 9 - 1 + 2 = 0$

したがって、$x = -1$は解の一つです。よって、$P(x)$は$(x + 1)$を因数に持ちます。

次に、$P(x)$を$(x + 1)$で割ります。

```

4x^3 - 8x^2 - x + 2

x + 1 | 4x^4 - 4x^3 - 9x^2 + x + 2

-(4x^4 + 4x^3)

------------------

-8x^3 - 9x^2

-(-8x^3 - 8x^2)

------------------

-x^2 + x

-(-x^2 - x)

------------------

2x + 2

-(2x + 2)

------------------

0

```

したがって、$P(x) = (x + 1)(4x^3 - 8x^2 - x + 2)$となります。

次に、$Q(x) = 4x^3 - 8x^2 - x + 2$の因数分解を考えます。

$Q(2) = 4(8) - 8(4) - 2 + 2 = 32 - 32 = 0$

したがって、$x=2$は$Q(x)$の解です。よって、$Q(x)$は$(x-2)$を因数に持ちます。

次に、$Q(x)$を$(x-2)$で割ります。

```

4x^2 - x - 1

x - 2 | 4x^3 - 8x^2 - x + 2

-(4x^3 - 8x^2)

------------------

-x + 2

-(-x + 2)

------------------

0

```

したがって、$Q(x) = (x - 2)(4x^2 - x - 1)$となります。

最後に、$4x^2 - x - 1$を因数分解します。これは二次方程式$4x^2 - x - 1 = 0$の解を求めることと同じです。解の公式を用いて解くと

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}$

よって、$4x^2 - x - 1 = 4(x - \frac{1 + \sqrt{17}}{8})(x - \frac{1 - \sqrt{17}}{8})$ と因数分解できます。

したがって、

$P(x) = (x + 1)(x - 2)(4x^2 - x - 1) = (x + 1)(x - 2)(4(x - \frac{1 + \sqrt{17}}{8})(x - \frac{1 - \sqrt{17}}{8}))$

となります。

ただし、$4x^2 - x - 1$ を因数分解せずに、$4x^2 - x - 1$ のまま残すことも可能です。

3. 最終的な答え

$P(x) = (x + 1)(x - 2)(4x^2 - x - 1)$