$3 < x < 5$ および $-1 < y < 4$ が与えられたとき、次の式の取りうる値の範囲を求める問題です。 (1) $x-1$ (2) $-3y$ (3) $x+y$ (4) $x-y$ (5) $2x-3y$

1. 問題の内容

$3 < x < 5$ および $-1 < y < 4$ が与えられたとき、次の式の取りうる値の範囲を求める問題です。

(1) $x-1$

(2) $-3y$

(3) $x+y$

(4) $x-y$

(5) $2x-3y$

2. 解き方の手順

(1) $x-1$ の範囲を求める。

$3 < x < 5$ の各辺から1を引くと、

$3 - 1 < x - 1 < 5 - 1$

$2 < x - 1 < 4$

(2) $-3y$ の範囲を求める。

$-1 < y < 4$ の各辺に-3をかけると、不等号の向きが変わることに注意する。

$-3 \cdot 4 < -3y < -3 \cdot (-1)$

$-12 < -3y < 3$

(3) $x+y$ の範囲を求める。

$3 < x < 5$ と $-1 < y < 4$ の各辺を足すと、

$3 + (-1) < x + y < 5 + 4$

$2 < x + y < 9$

(4) $x-y$ の範囲を求める。

$x-y$ は $x + (-y)$ と同じである。

まず、$-y$ の範囲を求める。 $-1 < y < 4$ の各辺に-1をかけると、不等号の向きが変わる。

$-4 < -y < 1$

次に、$3 < x < 5$ と $-4 < -y < 1$ の各辺を足すと、

$3 + (-4) < x + (-y) < 5 + 1$

$-1 < x - y < 6$

(5) $2x - 3y$ の範囲を求める。

まず、$2x$ の範囲を求める。$3 < x < 5$ の各辺に2をかけると、

$6 < 2x < 10$

次に、$-3y$ の範囲は(2)で求めた通り、$-12 < -3y < 3$ である。

$6 < 2x < 10$ と $-12 < -3y < 3$ の各辺を足すと、

$6 + (-12) < 2x + (-3y) < 10 + 3$

$-6 < 2x - 3y < 13$

3. 最終的な答え

(1) $2 < x - 1 < 4$

(2) $-12 < -3y < 3$

(3) $2 < x + y < 9$

(4) $-1 < x - y < 6$

(5) $-6 < 2x - 3y < 13$