$\sum_{k=1}^{n} (4k - 5)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (4k - 5)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

総和の性質を利用して、$\sum$記号を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k - 5) = \sum_{k=1}^{n} 4k - \sum_{k=1}^{n} 5$

定数倍は$\sum$の外に出すことができます。

$\sum_{k=1}^{n} 4k = 4 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} 5 = 5n$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{n} (4k - 5) = 4 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 5 = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 5n = 2n(n+1) - 5n$

整理すると

$2n(n+1) - 5n = 2n^2 + 2n - 5n = 2n^2 - 3n = n(2n - 3)$

3. 最終的な答え

$n(2n-3)$