次の和を求めます。 $\sum_{k=1}^{n} (4k - 5)$

1. 問題の内容

次の和を求めます。

$\sum_{k=1}^{n} (4k - 5)$

2. 解き方の手順

シグマの性質を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k - 5) = \sum_{k=1}^{n} 4k - \sum_{k=1}^{n} 5$

次に、定数倍のシグマの性質を使います。

$\sum_{k=1}^{n} 4k = 4 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k$ は、1 から n までの自然数の和なので、公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} 5$ は、5 を n 回足し合わせるので、$5n$ になります。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (4k - 5) = 4 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 5 = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 5n = 2n(n+1) - 5n = 2n^2 + 2n - 5n = 2n^2 - 3n$

3. 最終的な答え

$2n^2 - 3n$