与えられた一次不定方程式 $5x + 13y = 1$ の整数解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた一次不定方程式 $5x + 13y = 1$ の整数解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ユークリッドの互除法を用いて、5と13の最大公約数を求めます。

13 = 5 * 2 + 3

5 = 3 * 1 + 2

3 = 2 * 1 + 1

2 = 1 * 2 + 0

最大公約数は1であることがわかります。

次に、拡張ユークリッドの互除法を用いて、$5x + 13y = 1$ を満たす整数解 $x, y$ を一つ求めます。

1 = 3 - 2 * 1

= 3 - (5 - 3 * 1) * 1

= 3 - 5 + 3

= 2 * 3 - 5

= 2 * (13 - 5 * 2) - 5

= 2 * 13 - 4 * 5 - 5

= 2 * 13 - 5 * 5

よって、$5(-5) + 13(2) = 1$ となります。

したがって、$x_0 = -5$, $y_0 = 2$ は $5x + 13y = 1$ の一つの解です。

次に、一般解を求めます。

$5x + 13y = 1$

$5(-5) + 13(2) = 1$

辺々引くと、

$5(x + 5) + 13(y - 2) = 0$

$5(x + 5) = -13(y - 2)$

5と13は互いに素なので、$x + 5$ は13の倍数、$y - 2$ は5の倍数となります。

したがって、$x + 5 = 13k$, $y - 2 = -5k$ (kは整数) と書けます。

$x = 13k - 5$

$y = -5k + 2$

3. 最終的な答え

$x = 13k - 5$

$y = -5k + 2$ (kは整数)