この問題は、RSA暗号に関するものです。具体的には、以下の5つの課題があります。 1. 2つの素数 $p=7$ と $q=19$ を用いて、公開鍵と秘密鍵を作成する。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

この問題は、RSA暗号に関するものです。具体的には、以下の5つの課題があります。

1. 2つの素数 $p=7$ と $q=19$ を用いて、公開鍵と秘密鍵を作成する。

2. 公開鍵 $(e, n) = (3, 34)$ を用いて、平文「7」を暗号化する。

3. 公開鍵 $(e, n) = (7, 55)$ を用いて、平文「18」を暗号化する。

4. 秘密鍵 $(d, n) = (3, 51)$ を用いて、暗号文「やめへわ」を復号する (レジュメの「ひらがな」の表を使用)。

5. 秘密鍵 $(d, n) = (11, 51)$ を用いて、暗号文「かめ」を復号する (レジュメの「ひらがな」の表を使用)。

2. 解き方の手順

各問題について、手順を説明します。

1. 公開鍵と秘密鍵の作成 ($p=7$, $q=19$):

* $n = p \times q$ を計算する。

* $\phi(n) = (p-1) \times (q-1)$ を計算する。

* $1 < e < \phi(n)$ を満たす整数 $e$ で、$\phi(n)$ と互いに素なものを選択する（公開鍵の一部）。

* $e \times d \equiv 1 \pmod{\phi(n)}$ を満たす整数 $d$ を計算する（秘密鍵）。これは、$e$ の $\phi(n)$ を法とするモジュラ逆数です。

* 公開鍵は $(e, n)$、秘密鍵は $(d, n)$ となります。

$n = 7 \times 19 = 133$

$\phi(n) = (7-1) \times (19-1) = 6 \times 18 = 108$

ここでは、例として $e = 5$ とすると（5と108は互いに素）、

$5d \equiv 1 \pmod{108}$

この合同式を満たす $d$ は、$d = 65$ となります。

したがって、公開鍵は (5, 133)、秘密鍵は (65, 133) となります。

別の$e$を選択すれば、$d$の値も変わるので、解答は複数考えられます。

2. 暗号化 ($e=3$, $n=34$, 平文 = 7):

暗号文 $c$ は、$c \equiv m^e \pmod{n}$ で計算されます。ここで、$m$ は平文です。

$c \equiv 7^3 \pmod{34}$

$7^3 = 343$

$343 \div 34 = 10$ あまり $3$

$c \equiv 3 \pmod{34}$

したがって、暗号文は 3 です。

3. 暗号化 ($e=7$, $n=55$, 平文 = 18):

暗号文 $c$ は、$c \equiv m^e \pmod{n}$ で計算されます。

$c \equiv 18^7 \pmod{55}$

$18^2 = 324 \equiv 54 \equiv -1 \pmod{55}$

$18^7 = 18 \times (18^2)^3 \equiv 18 \times (-1)^3 \equiv -18 \equiv 37 \pmod{55}$

したがって、暗号文は 37 です。

4. 復号 ($d=3$, $n=51$, 暗号文 = "やめへわ"):

レジュメの「ひらがな」の表が必要です。ここでは表がないので、復号できません。各文字に対応する数値があるとして、$c$ を暗号文の数値とします。平文 $m$ は、$m \equiv c^d \pmod{n}$ で計算されます。各文字に対して平文を計算し、対応するひらがなを求めます。

5. 復号 ($d=11$, $n=51$, 暗号文 = "かめ"):

レジュメの「ひらがな」の表が必要です。ここでは表がないので、復号できません。各文字に対応する数値があるとして、$c$ を暗号文の数値とします。平文 $m$ は、$m \equiv c^d \pmod{n}$ で計算されます。各文字に対して平文を計算し、対応するひらがなを求めます。

3. 最終的な答え

1. 公開鍵: (5, 133), 秘密鍵: (65, 133) （例）

2. 暗号文: 3

3. 暗号文: 37

4. 復号文: ひらがな表がないため、復号できません。

5. 復号文: ひらがな表がないため、復号できません。