問題は、素数 $p$ と自然数 $n$ に対して、方程式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p^n}$ を満たす自然数 $x, y$ (ただし $x < y$) の組の数を求める問題です。具体的な $p, n$ の値の場合や、一般の $n$ に対する組の数を求めます。

1. 問題の内容

問題は、素数 $p$ と自然数 $n$ に対して、方程式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p^n}$ を満たす自然数 $x, y$ (ただし $x < y$) の組の数を求める問題です。具体的な $p, n$ の値の場合や、一般の $n$ に対する組の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $p = 3, n = 1$ のとき、方程式は $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ となります。

$3y + 3x = xy$ より、 $xy - 3x - 3y = 0$

$(x-3)(y-3) - 9 = 0$ なので、 $(x-3)(y-3) = 9$

$x < y$ より、$x-3 < y-3$ です。

9の約数は1, 3, 9なので、$(x-3, y-3) = (1, 9)$ が考えられます。

このとき、$(x, y) = (4, 12)$ となります。

(2) $n = 1$ のとき、方程式は $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}$ となります。

$py + px = xy$ より、$xy - px - py = 0$

$(x-p)(y-p) - p^2 = 0$ なので、 $(x-p)(y-p) = p^2$

$x < y$ より、$x-p < y-p$ です。

$p^2$ の約数は1, $p$, $p^2$ なので、$(x-p, y-p) = (1, p^2)$ が考えられます。

このとき、$(x, y) = (p+1, p^2+p)$ となります。

(3) $n = 2$ のとき、方程式は $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p^2}$ となります。

$p^2y + p^2x = xy$ より、$xy - p^2x - p^2y = 0$

$(x-p^2)(y-p^2) - p^4 = 0$ なので、 $(x-p^2)(y-p^2) = p^4$

$x < y$ より、$x-p^2 < y-p^2$ です。

$p^4$の約数は1, $p$, $p^2$, $p^3$, $p^4$ なので、$(x-p^2, y-p^2) = (1, p^4), (p, p^3)$ が考えられます。

このとき、$(x, y) = (p^2+1, p^4+p^2), (p^2+p, p^3+p^2)$ となり、2組存在します。

(4) 一般の $n$ に対して、方程式は $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p^n}$ となります。

$p^ny + p^nx = xy$ より、$xy - p^nx - p^ny = 0$

$(x-p^n)(y-p^n) - p^{2n} = 0$ なので、 $(x-p^n)(y-p^n) = p^{2n}$

$x < y$ より、$x-p^n < y-p^n$ です。

$p^{2n}$ の約数は $p^k$ (ただし $0 \leq k \leq 2n$) なので、$p^{2n}$ の約数の個数は $2n+1$ 個です。

$x < y$ を満たす組の数は、$\frac{(2n+1)-1}{2} = n$ 個となります。

3. 最終的な答え

ア：(4, 12)

イ：(p+1, p^2+p)

ウ：2

エ：n